Limes superior a limes inferior

Postupné přibližování ${\displaystyle \sup _{m\geq n}x_{m}}$ k ${\displaystyle \limsup x_{n}}$ a obdobně pro limes inferior

V matematice, zejména v matematické analýze, se pod limes superior a limes inferior dané posloupnosti rozumí její omezení seshora, respektive zespoda, „v nekonečnu“, tedy hodnota, přes, respektive pod, kterou se posloupnost dostane pouze v konečně mnoha případech, ale které se skutečně nekonečně jejích hodnot nekonečně blízko blíží, nebo jí dokonce nabývají. Jedná se o největší respektive nejmenší hromadný bod dané posloupnosti.

Uvažují se nejčastěji v reálných číslech.

Případ posloupností v reálných číslech

Formální definice

Buď ${\displaystyle (a_{n})}$ reálná posloupnost. Je-li ${\displaystyle (a_{n})}$ shora ohraničená, klademe limes superior

${\displaystyle \limsup a_{n}:=\lim _{n\to \infty }\left(\sup _{k\geq n}a_{k}\right)}$

V opačném případě klademe ${\displaystyle \limsup a_{n}=\infty }$.

Je-li ${\displaystyle (a_{n})}$ zdola ohraničená, klademe limes inferior

${\displaystyle \liminf a_{n}:=\lim _{n\to \infty }\left(\inf _{k\geq n}a_{k}\right)}$

V opačném případě klademe ${\displaystyle \liminf a_{n}=-\infty }$.

Limes superior a limes inferior tedy pro reálná čísla nabývají hodnoty z množiny rozšířených reálných čísel.

Vlastnosti

• Limes superior a limes inferior vždy existují (na rozdíl například od limity, která existovat nemusí)
• Limita posloupnosti ${\displaystyle a_{n}}$ existuje právě tehdy, když ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }a_{n}=\limsup _{n\to \infty }a_{n}.}$
• ${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }a_{n}\leq \limsup _{n\rightarrow \infty }a_{n}}$
• ${\displaystyle -\liminf _{n\to \infty }a_{n}=\limsup _{n\to \infty }(-a_{n}).}$

Literatura

• JARNÍK, Vojtěch. Diferenciální počet II.. Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1956. 

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Limes superior a limes inferior na Wikimedia Commons