Lineární lomená funkce

Lineární lomená funkce je funkce, kterou lze zapsat ve tvaru ${\displaystyle f(x):y={\frac {ax+b}{cx+d}};\,a,b,c,d\in \mathbb {R} ,\,c\neq 0}$.

Vlastnosti

• Definičním oborem jsou všechna reálná čísla s jednou výjimkou ${\displaystyle {\frac {-d}{c}}}$ (tj. ${\displaystyle D_{f}=R\setminus \left\{{\frac {-d}{c}}\right\}}$).
• Grafem této funkce je (v nedegenerovaném případě) hyperbola se středem v bodě ${\displaystyle \left[{\frac {-d}{c}};{\frac {a}{c}}\right]}$.
• Asymptoty (${\displaystyle x={\frac {-d}{c}}}$ ; ${\displaystyle y={\frac {a}{c}}}$) procházejí středem a jsou rovnoběžné s osami souřadnic.
• Jestliže by bylo ${\displaystyle c=0}$, již by se nejednalo o lineární lomenou funkci, ale lineární funkci ${\displaystyle f:y={\frac {a}{d}}x+{\frac {b}{d}}.}$

Vlastnosti funkce závisí na hodnotě výrazu ${\displaystyle ad-bc}$.

• Pro ${\displaystyle ad-bc>0}$ (${\displaystyle ad>bc}$) se jedná o hyperbolu rostoucí na intervalech ${\displaystyle (-\infty ;{\frac {-d}{c}})}$ a ${\displaystyle ({\frac {-d}{c}};\infty ).}$
• Pro ${\displaystyle ad-bc=0}$ (${\displaystyle ad=bc}$) by se jednalo o přímku ${\displaystyle f(x):y={\frac {a}{c}}.}$
• Pro ${\displaystyle ad-bc<0}$ (${\displaystyle ad<bc}$) se jedná o hyperbolu klesající na intervalech ${\displaystyle (-\infty ;{\frac {-d}{c}})}$ a ${\displaystyle ({\frac {-d}{c}};\infty ).}$

Derivace lomené funkce je

${\displaystyle \left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right)^{'}={\frac {a(cx+d)-c(ax+b)}{(cx+d)^{2}}}.}$

Po roznásobení závorek a následném odečtení vznikne tvar

${\displaystyle {\frac {ad-cb}{(cx+d)^{2}}}.}$

Související články

• Lineární funkce