Linearita derivace

V diferenciálním počtu se derivace libovolné lineární kombinace funkcí rovná stejné lineární kombinaci derivací funkcí;[1] Tato vlastnost je známa jako linearita derivace, pravidlo linearity[2] nebo princip superpozice pro derivaci.[3] Linearita je stěžejní vlastností derivace, která zahrnuje dvě jednodušší pravidla pro derivaci, součtové pravidlo pro derivaci (derivace součtu dvou funkcí se rovná součtu derivací) a derivace násobku funkce (derivace konstantního násobku funkce se rovná násobku derivace stejnou konstantou).[4][5] Můžeme tedy říct, že derivování je lineární zobrazení, z čehož vyplývá, že i diferenciální operátor je lineární zobrazení.[6]

Tvrzení a odvození

Nechť f a g jsou funkce, a α a β konstanty. Nyní uvažujme:

Pomocí součtového pravidla pro derivaci dostáváme:

Použitím pravidla pro derivaci násobku funkce dostaneme:

odtud

Vynecháním závorek a použitím alternativní notace pro zápis derivace dostáváme tvar:

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Linearity of differentiation na anglické Wikipedii.

  1. BLANK, Brian E.; KRANTZ, Steven George. Calculus: Single Variable, Volume 1. [s.l.]: Springer, 2006. Dostupné online. ISBN 9781931914598. .
  2. STRANG, Gilbert. Calculus, Volume 1. [s.l.]: SIAM, 1991. Dostupné online. ISBN 9780961408824. .
  3. STROYAN, K. D. Calculus Using Mathematica. [s.l.]: Academic Press, 2014. Dostupné online. ISBN 9781483267975. .
  4. ESTEP, Donald. Practical Analysis in One Variable. [s.l.]: Springer, 2002. (Undergraduate Texts v Mathematics). Dostupné online. ISBN 9780387954844. .
  5. ZORN, Paul. Understanding Real Analysis. [s.l.]: CRC Press, 2010. Dostupné online. ISBN 9781439894323. .
  6. GOCKENBACH, Mark S. Finite-Dimensional Linear Algebra. [s.l.]: CRC Press, 2011. (Diskrétní Mathematics a Jeho Aplikace). Dostupné online. ISBN 9781439815649. .