Lorentzův faktor

Jako Lorentzův faktor se označuje člen, který se často vyskytuje ve výrazech a rovnicích speciální teorie relativity (např. kontrakce délek, dilatace času, Lorentzova transformace) a podle kterého se pro pohybující se objekt mění čas, vzdálenost a relativistická hmotnost.

Tento člen se označuje řeckým písmenem γ (gama) a je definován jako

${\displaystyle \gamma \equiv {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}={\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau }}}$,

kde ${\displaystyle v}$ je velikost rychlosti ve vztažné soustavě, v níž je měřen čas ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle \tau }$ je vlastní čas a ${\displaystyle c}$ je rychlost světla ve vakuu.

Dalším často se opakujícím výrazem je ${\displaystyle {\frac {v}{c}}}$, nazývá se bezrozměrná rychlost a značí se ${\displaystyle \beta }$.

${\displaystyle \beta \equiv {\frac {v}{c}}}$

Lorentzův faktor lze pak vyjádřit jako

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}=\left(1-\beta ^{2}\right)^{-{1 \over 2}}\,.}$

Hodnoty

Lorentzův faktor roste s rychlostí od hodnoty 1. Při rychlostech blízkých ${\displaystyle c}$ roste nade všechny meze.

Přibližné vyjádření

Lorentzův faktor lze vyjádřit pomocí Taylorovy řady jako

${\displaystyle \gamma (\beta )=1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}+{\frac {3}{8}}\beta ^{4}+{\frac {5}{16}}\beta ^{6}+{\frac {35}{128}}\beta ^{8}+...\,.}$

Aproximaci ${\displaystyle \gamma \approx 1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}}$ lze využít pro určení relativistických jevů při nízkých rychlostech. Pro rychlosti ${\displaystyle \beta <0,4}$ vykazuje tato aproximace chybu do 1 %, pro rychlosti ${\displaystyle \beta <0,22}$ vykazuje chybu menší než 0,1 %.

Při omezení řady lze také ukázat, že pro nízké rychlosti přechází speciální teorie relativity na Newtonovu mechaniku. (V následujících vzorcích písmeno ${\displaystyle m}$ značí klidovou hmotnost, která je invariantní vůči Lorentzově transformaci.) Například relativistický výraz pro hybnost

${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma m\mathbf {v} }$

přejde pro ${\displaystyle \gamma \approx 1\,}$ na

${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} \,.}$

Podobně vztah pro energii

${\displaystyle E=\gamma mc^{2}}$

přejde pro ${\displaystyle \gamma \approx 1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}}$ na klasický tvar

${\displaystyle E=mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}\,.}$

V Lorentzově transformaci při nízkých rychlostech můžeme zanedbat členy řádu ${\displaystyle \beta ^{2}}$ a vyšší, takže je ${\displaystyle \gamma \approx 1}$ a obdržíme tzv. pomalou Lorentzovu transformaci.

${\displaystyle x^{\prime }=x-\beta ct}$

${\displaystyle y^{\prime }=y}$

${\displaystyle z^{\prime }=z}$

${\displaystyle ct^{\prime }=ct-\beta x\,.}$

Pro některé relativistické výpočty se používá vyjádření rychlosti pomocí ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \beta ={\sqrt {1-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}}}\,,}$

což lze také přepsat do Taylorovy řady

${\displaystyle \beta =1-{\frac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\frac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\frac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\frac {1}{128}}\gamma ^{-8}+...\,.}$

Související články

• Speciální teorie relativity
• Lorentzova transformace
• Bezrozměrná rychlost

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Lorentzův faktor na Wikimedia Commons