Lorenzův atraktor

Graf trajektorie Lorenzova systému ve stavovém prostoru pro hodnoty ${\displaystyle r=28,\sigma =10,b=8/3}$

Lorenzův atraktor, zavedený Edwardem Lorenzem v roce 1963, je nelineární trojdimenzionální deterministický dynamický systém odvozený ze zjednodušených rovnic vynucené konvekce v atmosféře. Pro jistou množinu parametrů systém vykazuje chaotické chování a zobrazuje to, co se dnes nazývá podivný atraktor; to bylo dokázáno W. Tuckerem v roce 2001. Podivný atraktor v tomto případě je fraktál s Hausdorffovou dimenzí mezi 2 a 3. Grassberger (1983) odhadl Hausdorffovu dimenzi na ${\displaystyle 2{,}06\pm 0{,}01}$ a korelační dimenzi na ${\displaystyle 2{,}05\pm 0{,}01}$.

Systém vzniká v laserech, dynamech, a specifických vodních kolech[1].

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=\sigma (y-x)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=x(r-z)-y}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}=xy-bz}$

kde ${\displaystyle \sigma }$ je Prandtlovo číslo a ${\displaystyle r}$ je Rayleighovo číslo (redukované). ${\displaystyle \sigma ,r,b>0}$, ale obvykle ${\displaystyle \sigma =10}$, ${\displaystyle b=8/3}$ a ${\displaystyle r}$ se mění. Systém vykazuje chaotické chování pro ${\displaystyle r=28}$, ale zobrazuje zamotané periodické orbity pro další hodnoty ${\displaystyle r}$. Například pro ${\displaystyle r=99{,}96}$ vzniká ${\displaystyle T(3,2)}$ prstencové klubko.

Reference

• Lorenz, E, N., Deterministic nonperiodic flow, J. Atmos. Sci., 1963, 20, 130-141
• Frøyland, J., Alfsen, K. H., Lyapunov-exponent spectra for the Lorenz model, Phys. Rev. A, 1984, 29, 2928–2931
• Strogatz, Steven H., Nonlinear Systems and Chaos, Perseus publishing, 1994
• Jonas Bergman, Knots in the Lorentz system, Undergraduate thesis, Uppsala University 2004
• P. Grassberger and I. Procaccia, Measuring the strangeness of strange attractors, Physica D, 1983, 9 189-208 (odkaz)
• J. Horák, L. Krlín, A. Raidl, Deterministický chaos a jeho fyzikální aplikace, Academia, Praha 2003

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Lorenzův atraktor na Wikimedia Commons
• Lorenz Attractor
• planetmath.org: Lorenz Equation Archivováno 7. 6. 2009 na Wayback Machine
• Levitated.net: computational art and design
• Animated Lorenz strange attractor
• Generátor Lorenzova atraktoru
• Náhoda v exaktní vědě (z archivu)