Loxodroma
Loxodroma je křivka na referenční ploše (např. na sférickém povrchu Země), která protíná všechny poledníky pod stejným úhlem.
V úhlojevných mapách Země v Mercatorově zobrazení mají loxodromy charakter přímek. Mapu světa, sestrojenou v tomto zobrazení, uveřejnil v roce 1569 Gerhard Mercator (1512–1594)[1]. Název „loxodroma“ pochází od nizozemského učence Willebrorda Snellia (1581–1626).
Přestože loxodroma není nejkratší spojnicí dvou míst na referenční ploše, byly loxodromické cesty v minulosti využívány při námořní plavbě. Pro svou jednoduchost jsou loxodromické cesty používány i dnes v námořní a v letecké navigaci. Loxodromická cesta se shoduje s ortodromickou pouze ve směru po polednících a ve směru po rovníku. V tom případě je loxodroma nejkratší spojnicí dvou míst na referenční ploše. Do vzdálenosti 800–1000 km je rozdíl mezi loxodromou a ortodromou zanedbatelný[2].
V dnešní době díky rozvoji moderní navigační techniky (GPS apod.) význam loxodromy klesá.
Matematický popis
Budeme uvažovat dva body na sféře poloměru , jejichž poloha je udána ve sférických souřadnicích. Našim cílem bude najít azimut loxodromy (ten je dle definice pro celou křivku stejný) a délku této křivky. Sférické souřadnice označme a , přičemž první z nich je zeměpisná šířka, druhá délka. Rovníku tedy odpovídá .
Odvození azimutu
Je zřejmé, že délka malého elementu ve směru jih-sever je , zatím co ve směru západ-východ . Azimut (úhel vůči severu) je pak tedy dán takto:
Tento vztah upravíme na tvar vhodný k integraci
.
Přitom dle definice loxodromy je konstantní. Integrováním od do získáme změnu mezi těmito body. Přitom předpokládáme, že .
Byl tedy získán vztah pro azimut loxodromy:
Poznamenejme, že transformační vztahy pro Mercatorovo zobrazení jsou:
Spojíme-li na mapě dva body pravítkem, pak zřejmě jejich spojnice má na mapě azimut
,
což je přesně stejná hodnota, jaká byla odvozena předchozím výpočtem. Loxodromy jsou tedy opravdu na mapách s touto projekcí přímky. Můžeme uvažovat i obráceně a předchozí výpočet považovat za odvození Mercatorovy projekce, tedy projekce, kde jsou loxodromy přímky.
Délka loxodromy
Nyní ještě určíme její délku. Vyjdeme přitom z Pythagorovy věty, kterou určíme délku výsledného elementu dráhy, když došlo k pohybu jak ve směru jih-sever, tak západ-východ.
Dosadíme-li za z předem odvozeného vztahu pro azimut, dostaneme:
Integrace je tedy triviální. Délka loxodromy je
,
kde za azimut dosadíme z předem odvozeného vztahu
Odkazy
Reference
Externí odkazy
- Obrázky, zvuky či videa k tématu Loxodroma na Wikimedia Commons
- Loxodroma na gis.zcu.cz
Média použitá na této stránce
Autor: German Wikipedia User Karl Bednarik, Licence: CC BY-SA 3.0
Ein Loxodrom hat im Gegensatz zur archimedischen Kugelspirale einen konstanten Winkel zwischen den Längengraden und den Breitengraden, der hier das Verhältnis von 10 Länge zu 1 Breite hat.