Majoranta

Majoranta, jinak také horní mez, horní závora nebo horní odhad, je matematický pojem z teorie uspořádání.

Definice

Majoranta se definuje následujícím způsobem:

Pokud je množina ${\displaystyle A}$ uspořádána relací ${\displaystyle R}$ a ${\displaystyle B}$ je podmnožina ${\displaystyle A}$, pak prvek ${\displaystyle a\in A}$ je majorantou ${\displaystyle B}$, právě když ${\displaystyle (\forall b\in B)(b\leq a)}$.

Množina ${\displaystyle B\subseteq A}$ je shora omezená, pokud pro ni existuje alespoň jedna majoranta.

Vlastnosti majoranty

• Pokud má množina ${\displaystyle B\subseteq A}$ z předchozí definice největší prvek, pak je tento prvek majorantou.
• Pomocí pojmu majoranty se dále definuje pojem supremum množiny jako nejmenší prvek množiny (nebo třídy) všech majorant (pokud tato množina má nejmenší prvek).

Příklady

Nechť A je množina všech reálných čísel (A = R), B je množina všech reálných čísel x takových, že x² < 3 a nechť R je relace obvyklého ostrého uspořádání reálných čísel (tj. R = <). Pak majorantou B při uspořádání R je například číslo 10. Nejmenší majorantou je číslo ${\displaystyle s={\sqrt {3}}}$.

Nechť A je třída všech ordinálních čísel (A = On), B je množina všech konečných ordinálních čísel (tj. množina přirozených čísel) a R = ${\displaystyle \in }$ je uspořádání na třídě On. Pak majorantou B při uspořádání R je každé nekonečné ordinální číslo, nejmenší majorantou je číslo ${\displaystyle s=\omega \,(=\aleph _{0})}$.

Související články

• Minoranta
• Supremum
• Infimum