Malá Fermatova věta je matematická věta, která tvrdí, že pro každé prvočíslo p a každé celé číslo a platí
To znamená, že číslo je dělitelné prvočíslem p.
- Pokud NSD(a,p) = 1, pak platí také tvar
- .
Symbol ≡ pochází z modulární aritmetiky a zápis se čte "je kongruentní s" (v modulo p).
Věta je nazvána podle francouzského matematika Pierra de Fermat (1601–1665); přívlastek malá ji odlišuje od Velké Fermatovy věty. Využívá se například pro Fermatův test prvočíselnosti.
Zobecnění
Pro libovolná přirozená čísla a taková, že NSD(a,n) = 1, platí
- , kde je Eulerova funkce.
Příklad
- Buď p=5, a=2. Jelikož 5 je prvočíslo a 2 není násobek 5, má podle malé Fermatovy věty platit, že je dělitelné 5. Vskutku, je dělitelné 5.
Důkazy
Důkaz indukcí
Buď a nechť pro přirozená . Pak (ostatní členy v binomickém rozvoji jsou dělitelné ) a podle indukčního předpokladu . Tedy , neboli . Tedy tvrzení platí pro . Dále pro platí , což plyne opět z binomického vzorce. Zbývá si uvědomit, že libovolné číslo , které není násobkem , je možno napsat jako , kde . Tedy .
Elementární důkaz
Mějme různých písmen (nějaké) abecedy a uvažujme množinu všech slov o písmenech z oné abecedy (nad onou abecedou), kde je prvočíslo. Takových slov je zřejmě . Buď .
Rozdělme tuto množinu slov do menších podmnožin takovým způsobem, že slovo právě když . Buď nejmenší takové, že . Zřejmě , proto buď anebo . Tedy každá z těchto podmnožina může mít buď jeden prvek (pokud se v slově opakuje p krát jedno písmeno), anebo p prvků (v ostatních případech). Jednoprvkových množin je však , neboť jsou to právě množiny . Zbylá slova se tedy dají rozdělit do podmnožin velikosti , tedy .
Důkaz pomocí teorie grup
Buď prvočíslo. Pak množina zbytkových tříd je těleso, jehož nenulové prvky tvoří multiplikativní grupu řádu . Libovolný prvek generuje její cyklickou podgrupu řádu , tj. je nejmenší číslo, pro které . Podle Lagrangeovy věty, počet prvků podgrupy dělí počet prvků grupy, tedy . Tedy v . Tedy pro máme v .
Důkaz pomocí součinu zbytkových tříd
Buď opět prvočíslo, množina zbytkových tříd, jejíž nenulové prvky tvoří multiplikativní grupu řádu . Násobení prvkem permutuje prvky , proto součin všech prvků se nezmění:
Součin na obou stranách je nesoudělný s (poněvadž každý prvek součinu je nesoudělný s ). Můžeme tedy zkrátit součin a dostáváme v .
Literatura
- Jaroslav Blažek, Emil Calda, Blanka Kussová: Algebra a teoretická aritmetika I., SPN Praha 1979
Externí odkazy