Mandelbrotova množina

Mandelbrotova množina je množina bodů komplexní roviny, které jsou odvozeny od rekurzivních procesů s komplexními čísly patřícími této množině a jejímu okolí. Mandelbrotova množina je jeden z nejznámějších fraktálů, přesněji řečeno fraktálem je její okraj. K jejímu určení se používá zobrazení, které každému komplexnímu číslu ${\displaystyle c}$ přiřazuje určitou posloupnost komplexních čísel ${\displaystyle z_{n}}$. Tato posloupnost je určena následujícím rekurzivním předpisem:

${\displaystyle z_{0}=0,\quad z_{n+1}=z_{n}^{2}+c}$.

Mandelbrotova množina je pak definována jako množina komplexních čísel ${\displaystyle c}$, pro která je posloupnost ${\displaystyle z_{0},z_{1},z_{2},\dots }$  omezená, tj. splňuje následující podmínku:

Existuje reálné číslo ${\displaystyle m}$ takové, že pro všechna ${\displaystyle n}$ je  ${\displaystyle |z_{n}|\leq m}$.

Lze dokázat, že překročí-li absolutní hodnota některého členu posloupnosti ${\displaystyle z_{n}}$ hodnotu 2, pak tato posloupnost není omezená (jde do nekonečna). Odtud je zřejmé, že lze ve výše uvedené definici položit ${\displaystyle m=2}$, aniž by tím došlo ke změně jejího významu.

Vlastnosti

• Celá množina leží uvnitř kruhu se středem v nule a poloměrem 2.
• Množina je souvislá (jak dokázali roku 1982 Adrien Douady a John H. Hubbard), je dokonce jednoduše souvislá. Předpokládá se, že je také obloukově souvislá, ale není to dokázáno.
• Hausdorffova dimenze hranice množiny je 2, jedná se tedy o fraktál.
• Množina je kompaktní, tedy uzavřená, tím spíš borelovská a lze jí tedy přiřadit Lebesgueovu míru. Její plocha je přibližně 1,5065918.^[1]
• Množina sestává ze spočetně nekonečného množství podobjektů, podobných kardioidám a kruhům, které se vzájemně dotýkají.^[zdroj?]

Výpočet a grafické zobrazení

Nejprve se pro každý určený bod komplexní roviny postupně vyčíslují členy posloupnosti ${\displaystyle z_{n}}$ a zjišťuje se, jestli splňují podmínku ${\displaystyle |z_{n}|\leq 2}$ (výhodněji její druhou mocninu). V případě, že tato podmínka není splněna, bod nepatří do Mandelbrotovy množiny. Při zobrazování se často podle hodnoty ${\displaystyle n}$, při níž došlo k nesplnění podmínky, zvolí barva, kterou bude bod zobrazen. Pro dosažení dobrého vzhledu se pro blízká „vyřazovací“ ${\displaystyle n}$ volí podobné barvy. Pokud po vhodně zvoleném počtu iterací zůstává uvedená podmínka splněna, je bod považován za součást Mandelbrotovy množiny (zobrazuje se obvykle černou barvou). Nastavení této hranice ovlivňuje výsledný obrázek: pro příliš malou hodnotu budou některé body chybně označeny jako patřící do množiny, ale velký počet iterací vyžaduje delší čas výpočtu.

Výpočet je možno zrychlit tím, že se rychle detekují body, které do množiny evidentně patří, protože se nacházejí uvnitř hlavních částí množiny – kružnice a kardioidy.

Historie

Množinu jako první definoval v roce 1905 francouzský matematik Pierre Fatou, který studoval rekurzivní procesy jako např.

${\displaystyle z\mapsto z^{2}+c}$.

Pokud se taková operace opakovaně provádí z nějaké počáteční hodnoty ${\displaystyle z_{0}}$, vznikne tím posloupnost bodů, která se označuje jako orbit bodu ${\displaystyle z_{0}}$ vůči dané transformaci. Fatou si uvědomil, že o chování podobných systémů dobře vypovídá studium orbitu bodu ${\displaystyle z_{0}=0}$. Takových systémů existuje nekonečně mnoho (jeden pro každou hodnotu ${\displaystyle c}$). Jelikož Fatou neměl k dispozici počítač, pokusil se vytvořit orbity několika takových funkcí ručně, přičemž nalezl již zmiňovanou hranici 2, po překročení které bude orbita zaručeně utíkat do nekonečna.

Ruční výpočty byly pochopitelně velice náročné, takže Fatou nikdy to, co se dnes označuje jako Mandelbrotova množina, na vlastní oči nespatřil. Prvním, kdo tuto množinu nechal vykreslit počítačem, byl Benoît Mandelbrot, podle kterého je také pojmenována.

Mandelbrot tuto množinu a vůbec pojem fraktál popularizoval ve své knize z roku 1975, Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension.

Příbuzné fraktály

Při změně počáteční podmínky u definujícího předpisu je výsledkem nesouvislá množina. Takovému znetvoření se anglicky říká tilt (naražení, zvrhnutí).

Mandelbrotova množina má těsný vztah k Juliovým množinám; dokonce obsahuje místa, která vzhledem připomínají Juliovy množiny. Pokud bychom následovali povrch Mandelbrotovy množiny, zobrazovaly by se nám odpovídající Juliovy množiny. Každému bodu komplexní roviny odpovídá Juliova množina (s parametrem daným souřadnicemi daného bodu), přičemž bodům uvnitř Mandelbrotovy množiny odpovídají souvislé Juliovy množiny, bodům mimo pak nesouvislé. Z toho vyplývá, že Juliovy množiny jsou atraktory. Vizuálně nejzajímavější Juliovy množiny odpovídají bodům poblíž hranice Mandelbrotovy množiny, neboť bodům hluboko uvnitř odpovídají jednoduché geometrické tvary, bodům daleko vně pak jen několik roztroušených bodů (okolí bodu ${\displaystyle c}$ připomíná střed Juliovy množiny s parametrem ${\displaystyle c}$).

Přes složitost Juliovy a Mandelbrotovy množiny to lze snadno popsat následujícím pseudokódem, kde je vidět i rozdíl mezi algoritmy pro Juliovu a Mandelbrotovu množinu:^[2]

##bailout = předem definovaná vzdálenost od výchozího stavu, počet iterací potřebných k dosažení mezní hodnoty
##pro optimalizaci pro běžná zařízení zastavíme počet iterací na 1000
##funkce plot() vykreslí body na diagramu

funkce Juliova(C)                           funkce Mandelbrotova()
                for y = 0 to výška_obrazovky
                for x = 0 to šířka_obrazovky
z = complex(x,y)                            C = complex(x,y); z = (0,0)
                počet = 0
                repeat
                z = (z^2) + C
                počet = počet + 1
                until abs(z) > bailout or počet > 1000
                plot (x, y, colour(počet))
                next x; next y
                return

Od Juliových množin se k Mandelbrotově množině poprvé dostali Robert Brooks a Peter Matelski v roce 1978 ze State university of New York pomocí školního počítače.^[3] Do grafu vynesli středové body všech Juliových množin v komplexní rovině. Monitory tehdejších počítačů zvládaly jen jednoduché grafické zpracování a výsledek jim byl proto zobrazen jen pomocí hvězdiček.

Značení laloků

Pro alespoň základní orientaci na tzv. Mandelbrotově mapě, tedy vyobrazení i hranic a blízkého okolí Mandelbrotovy množiny sahající i mimo plochu, kde jsou Juliovy množiny souvislé (místa běžně označována černě), používáme značení primárně pro laloky a axony/synapse.

Číslování laloků

Využíváme značení laloků pomocí vnitřního úhlu,^[4] využívající také Fareyovy zlomky, se kterými se můžeme setkat i u značení Fordových kružnic.^[5] Existuje více typů analytických pojmenovávacích systémů,^[6] tento je však nejpřehlednější. Začněme však jiným, zjednodušeným značením, kde se hlavní lalok (kardioidu) značí číslem 1. Protože je Mandelbrotova množina zrcadlově symetrická podle reálné osy, zápornou polovina je pojmenována (touto zjednodušenou verzí) identicky. Laloky, které z něj dále vycházejí, jsou dále pojmenovány ve směru hodinových ručiček podle sestupné velikosti, tedy největší připojený lalok k laloku 1 je lalok 2, následně nalevo je lalok,3,4,5,6 atd. Lalok 2 by měl být správně značen 1:2 (":" značí "je připojen k"), ale protože tuto návaznost mají úplně všechny laloky, je toto pomíjeno. Kdybychom následovali reálnou osu od 0 do záporných čísel, laloky ležící na této ose by byly pojmenovány postupně 2, 2:2, 2:2:2, 2:2:2:2 a tak dále.

S využitím Fareyových zlomků^[7] lze Mandelbrotovu množinu značit ještě přesněji pomocí metody vnitřního úhlu, z názvu laloku lze totiž odvodit, kde se přibližně nachází. Na stejném principu vyvinul matematik Robert Munafo^[8] analytický pojmenovávací systém s názvem R2.^[9] Stejně jako u Fordových kružnic, vrchní polovina hlavního kardioidu rozdělené reálnou osou (zjednodušeně značeno jako lalok 1, nyní se však jedná jen o horní polovinu rozdělenou reálnou osou) by byla značena ${\displaystyle \left({\frac {0}{1}}\right)}$ a dolní ${\displaystyle \left({\frac {1}{1}}\right)}$. Druhý největší lalok, zjednodušeně značený jako lalok 2, má značení ${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)}$, zjednodušeně značený lalok 3 je ${\displaystyle \left({\frac {1}{3}}\right)}$ a jeho zrcadlový protějšek pod reálnou osou ${\displaystyle \left({\frac {2}{3}}\right)}$. V čitateli je velikost koku a ve jmenovateli periodicita. Je to tedy Fareyův součet předchozích dvou Fareyových zlomků laloků.

Odkazy

Reference

Související články

• Juliova množina – podobný princip, ale ${\displaystyle z_{0}}$ je bod komplexní roviny a ${\displaystyle c}$ je parametr

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Mandelbrotova množina na Wikimedia Commons
• Galerie Mandelbrotova množina na Wikimedia Commons
• Petr Pauš: Počítačové generování fraktálních množin (rešeršní práce)
• Fraktály v počítačové grafice - rozsáhlý seriál o fraktálech vycházející v elektronickém časopise Root
• Internal Addresses in the Mandelbrot set and irreducibility of polynomials https://www.math.stonybrook.edu/theses/thesis94-2/part1.pdf
• Internal Addresses in the Mandelbrot set and Galois groups of polynomials https://arxiv.org/pdf/math/9411238.pdf
• Periodic orbits, externals rays and the Mandelbrot set: the expository account https://arxiv.org/pdf/math/9905169.pdf
• Fareyovy zlomky, přehled https://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/141945/PokrokyMFA_55-2010-2_2.pdf
• Fordovy kružnice https://www.matfyz.cz/clanky/matykani-ix-maji-zlomky-rodice
• Metoda R2 https://www.mrob.com/pub/muency/r2namingsystem.html
• Atraktory Atraktor