Matice přechodu

Matice přechodu mezi dvěma bázemi vektorového prostoru je nástroj pro snadný převod souřadnic vektorů nebo bodů z jedné souřadné soustavy do druhé. Ve spojení s inverzní maticí se používá k vyjádření lineárního zobrazení v jiné soustavě souřadnic. Toto usnadňuje například modelování fyzikálních polí v ortotropních materiálech.

Transformace souřadnic

Budeme uvažovat dvě soustavy souřadnic pro vektory ve vektorovém prostoru. Jsou-li ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle X'}$ souřadnice téhož vektoru ve dvou různých souřadných soustavách ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ a ${\displaystyle {\mathcal {B}}'}$, je možné pomocí matice přechodu ${\displaystyle P}$ pro přechod od báze ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ k ${\displaystyle {\mathcal {B}}'}$ psát ${\displaystyle X=PX'}$. Matice ${\displaystyle P}$ má tedy ve sloupcích souřadnice vektorů báze ${\displaystyle {\mathcal {B}}'}$ vyjádřené v bázi ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$.

Příklad

Matice přechodu je ilustrována na obrázku. Soustava ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ má osy vodorovně a svisle, odpovídá šedé mřížce. Soustava ${\displaystyle {\mathcal {B}}'}$ je pootočená proti směru hodinových ručiček a znázorněna modrou mřížkou. Počátek je pro obě soustavy ve středu obrázku a proto můžeme místo vektorů pracovat i s body. Jednotkové vektory soustavy ${\displaystyle {\mathcal {B}}'}$ jsou znázorněny červenou a zelenou barvou. Matice přechodu je matice, jejíž sloupce jsou souřadnice těchto vektorů v šedé soustavě ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ a je v obrázku vlevo nahoře. Vektor ${\displaystyle {\vec {u}}}$ je součtem trojnásobku prvního a dvojnásobku druhého bázového vektoru soustavy ${\displaystyle {\mathcal {B}}'}$. To definuje souřadnice vektoru v soustavě ${\displaystyle {\mathcal {B}}'}$. Souřadnice v soustavě ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ je možné najít po dosazení souřadnic vektorů ${\displaystyle {\vec {i}}}$ a ${\displaystyle {\vec {j}}}$ v bázi ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ do vztahu ${\displaystyle {\vec {u}}=3{\vec {i}}+2{\vec {j}}}$. Protože souřadnice vektorů ${\displaystyle {\vec {i}}}$ a ${\displaystyle {\vec {j}}}$ tvoří sloupce matice přechodu, odpovídá tento zápis maticovému součinu zapsanému v levém dolním rohu obrázku.

Transformace lineárního zobrazení

Má-li zobrazení v bázi ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ matici ${\displaystyle A}$, platí pro vzor ${\displaystyle X}$ a obraz ${\displaystyle Y}$ vztah ${\displaystyle Y=AX}$. V bázi ${\displaystyle {\mathcal {B}}'}$ poté platí ${\displaystyle Y'=(P^{-1}AP)X'}$ a matice ${\displaystyle P^{-1}AP}$ je maticí téhož zobrazení v soustavě ${\displaystyle {\mathcal {B}}'}$. V technicky významných případech je transformace realizována pootočením a v takovém případě je matice přechodu ortogonální a její inverzní matice ${\displaystyle P^{-1}}$ je rovna matici transponované ${\displaystyle P^{T}}$.

Využití matice přechodu ve fyzice a v technické praxi

Transformace je výhodná zejména pokud bázi nové soustavy souřadnic tvoří vlastní vektory zobrazení. V takové bázi je matice zobrazení diagonální a mimodiagonální prvky se neuplatní. Srovnej obecnou difuzní rovnici, ve které vystupuje i smíšená druhá derivace a matematickou formulaci rovnice vedení tepla, kde se již předpokládá vhodná volba soustavy souřadnic, všechny druhé derivace jsou podle jedné proměnné a smíšené derivace se nevyskytují.

V technické praxi v konstitutivních zákonech pro ortotropní materiály bývá obvyklé tabelovat hodnoty pro vlastní směry materiálu a pro případné výpočty v jiných souřadných soustavách se příslušné veličiny přepočítají pomocí matice přechodu. Kromě přímého přístupu pomocí matice transformace je možné využít i další inženýrské techniky produkující jinými prostředky stejné výsledky, například použití směrových kosinů (každá komponenta matice přechodu vyjadřuje kosinus úhlu mezi jednou osou staré a jednou osou nové soustavy souřadnic) nebo Mohrovy kružnice. Například pro dřevo stačí určit tři součinitele vedení tepla v axiálním, radiálním a tangenciálním směru. Pokud materiál modelujeme v souřadné soustavě mající osy v těchto směrech, je matice součinitele tepelné vodivosti diagonální. Pokud je nutné studovat materiál v jiné souřadné soustavě, například kvůli geometrickým vlastnostem, přepočet do jiné soustavy realizuje právě matice přechodu.

Odkazy

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Matice přechodu na Wikimedia Commons

Související články

• Báze (lineární algebra)