Matice zkosení

Matice zkosení (anglicky transvection) je v lineární algebře elementární matice, která reprezentuje přičtení násobku jednoho řádku nebo sloupce k jinému. Takovou matici můžeme dostat z jednotkové matice nahrazením jednoho nulového prvku nenulovou hodnotou.

Definice

Matice zkosení má podobu:

${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{ij}(\lambda )={\begin{pmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&\lambda &&\\&&&\ddots &&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{pmatrix}}}$

Formálně pro dvojici různých indexů ${\displaystyle i\neq j}$ a parametr ${\displaystyle \lambda }$:

${\displaystyle ({\boldsymbol {L}}_{i,j}(\lambda ))_{k,l}={\begin{cases}\lambda &{\text{pro }}(k,l)=(i,j),\\1&{\text{pro }}k=l,\\0&{\text{jinak}}.\\\end{cases}}}$

Ukázka v ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Zkosení rovnoběžné s osou ${\displaystyle x}$ vede k ${\displaystyle x'=x+\lambda y}$ a ${\displaystyle y'=y}$. V maticovém tvaru:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

Podobně zkosení rovnoběžné s osou ${\displaystyle y}$ má ${\displaystyle x'=x}$ a ${\displaystyle y'=y+\lambda x}$. V maticovém tvaru:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\\lambda &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

Vlastnosti

Je-li ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}}$ je matice zkosení řádu ${\displaystyle n}$, pak má následující vlastnosti:

• ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}}$ je asymetrická, neboli není symetrická,
• z ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}}$ lze vytvořit blokovou matici záměnou vhodné dvojice sloupců a vhodné dvojice řádků,
• ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}}$ má hodnost ${\displaystyle n}$, a proto je regulární.
• inverzní matice je ${\displaystyle ({\boldsymbol {L}}_{ij}(\lambda ))^{-1}={\boldsymbol {L}}_{ij}(-\lambda )}$, reprezentující transformaci zkosení opačným směrem,
• pro celočíselné, tedy i nekladné mocniny platí ${\displaystyle ({\boldsymbol {L}}_{ij}(\lambda ))^{n}={\boldsymbol {L}}_{ij}(n\lambda )}$,
• ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}}$ je trojúhelníková s 1 na diagonále a proto má její determinant hodnotu ${\displaystyle \det {\boldsymbol {L}}=1}$,
• obsah, objem nebo objemy polytopů jakéhokoli vyššího řádu se při zkosení vrcholů polytopu nemění,
• pro stopu platí ${\displaystyle \operatorname {tr} {\boldsymbol {L}}=n}$,
• 1 je jediné vlastní číslo matice ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}}$,
• geometrická násobnost vlastního čísla 1 neboli dimenze prostoru vlastních vektorů matice ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}}$ je ${\displaystyle n-1}$,
• ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}}$ je defektní.

Skládání v rovině

Pro skládání dvou nebo více zkosení v rovině platí vztah:

Jsou-li ${\textstyle {\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}}$ a ${\textstyle {\begin{pmatrix}1&0\\\mu &1\end{pmatrix}}}$ dvě matice zkosení, pak matice složené transformace je:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\\mu &1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+\lambda \mu &\lambda \\\mu &1\end{pmatrix}}}$.

Determinant výsledné matice je 1, takže se obsah či objem zachová i při složené transformaci (platí obecně i ve vyšších dimenzích).

Volba ${\displaystyle \lambda =\mu }$ dává pozitivně definitní matici ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1+\lambda ^{2}&\lambda \\\lambda &1\end{pmatrix}}}$.

Aplikace

• Matice zkosení se často používají v počítačové grafice.^[1]

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Shear matrix na anglické Wikipedii.

Literatura

• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

• Elementární matice
• Transformační matice