Odčítání

Odčítání (též odečítání)^[1] je matematický pojem označující binární operaci opačnou k operaci sčítání.

Značení a názvosloví

Zápis odčítání se skládá ze tří částí:
${\displaystyle x-y\,\!}$

• ${\displaystyle x\,\!}$ se nazývá menšenec (číslo, od kterého je odečítáno)
• ${\displaystyle y\,\!}$ se nazývá menšitel (číslo, které je odečítáno)
• ${\displaystyle -\,\!}$ je symbol pro operaci odčítání

Výsledek odčítání se pak nazývá rozdíl.

Motivace a vlastnosti

Výpočet rozdílu dvou čísel (tj. odčítání) je vlastně odpovědí na otázku „které číslo musím přičíst k menšiteli, abych dostal menšenec“. Na otázku „kolik jablek chybí do dvanácti, když jich mám sedm“ lze tedy najít odpověď výpočtem ${\displaystyle 12-7=5\,\!}$, číslo 5 je hledaný rozdíl.

Jak už z tohoto popisu vyplývá, není postavení menšence a menšitele při odčítání stejné - jejich prohozením nezískám stejný výsledek. Na rozdíl od sčítání tedy odčítání není komutativní operace.

Operaci odečítání lze definovat na množinách přirozených, celých, racionálních, algebraických, reálných i komplexních čísel. Množina přirozených čísel není vůči operaci odčítání uzavřená – například rozdíl 2-3 není přirozené číslo. Pomocí operace odčítání lze rozšířit množinu přirozených čísel na čísla celá.

Vztah k opačnému číslu

Ne každá podobná úloha má na každém číselném oboru řešení, například neexistuje žádné přirozené číslo ${\displaystyle x=12-100\,\!}$.

Aby bylo možné odečíst libovolná dvě čísla, musí ke každému číslu ${\displaystyle x\,\!}$ existovat opačné číslo (nebo v algebře obecněji opačný prvek) ${\displaystyle -x\,\!}$.

Pak lze říci, že rozdíl je totéž, jako součet menšence s opačným číslem k menšiteli:
${\displaystyle x-y=x+(-y)\,\!}$
Speciálně pro ${\displaystyle x=0\,\!}$ dostáváme vztah
${\displaystyle 0-y=-y\,\!}$.
Jako 0 si zde lze představit číslo 0 v běžném smyslu, na obecnější algebraické struktuře se jedná o neutrální prvek vzhledem k operaci sčítání.

Odčítání zlomků

Pro odečtení dvou racionálních čísel platí vzorec podobný sčítání zlomků:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {a.d-c.b}{b.d}}\,\!}$

Odčítání komplexních čísel

Komplexní čísla se odečítají zvlášť pro reálnou a zvlášť pro imaginární část - opět se jedná o obdobu sčítání:

${\displaystyle (a+ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d)\,\!}$

Související články

• Operace
• Sčítání
• Dělení
• Algebraická struktura
• Rozdíl množin
• Doplněk množiny

Odkazy

Reference

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu odčítání na Wikimedia Commons