Mengerova houba

Zobrazení útvaru po 4. kroku
Videosoubor rozvoje fraktálu Mengerova houba v trojrozměrném prostoru

Mengerova houba (též houba Sierpińského-Mengera) je fraktál ve třírozměrném prostoru. Jde o jedno z možných zobecnění Cantorova diskontinua.

Mengerova houba vznikne z krychle následujícím postupem:

  • Krychle se rozčlení na 27 shodných krychliček o třetinové délce hran
  • odstraní se 7 krychliček, a to šest krychliček ve středech stěn krychle a sedmá ve středu krychle
  • tentýž postup se znovu aplikuje na každou ze zbývajících 20 krychliček
  • stejně se postupuje dále do nekonečna, v každém dalším kroku vždy pro 3× menší krychličky než v kroku předchozím.[1][2]

Vzniklý útvar, jehož přibližný vzhled je znázorněn na obrázku, má tyto vlastnosti:

  • je souvislý
  • jeho objem je po nekonečném množství kroků roven nule
  • jeho povrch roste nade všechny meze
  • jeho konvexním obalem o nejmenším možném objemu je výchozí krychle
  • jeho topologická dimenze je rovna 3
  • jeho Hausdorffova dimenze je rovna ln 20/ln 3, tj. asi 2,7268[3]

Reference

  1. ↑ GLEICK, J. Chaos: Making a New Science. New York: Penguin Books, 1988. Dostupné online. ISBN 0-1400-9250-1. S. 101. (anglicky) 
  2. ↑ MANDELBROT, Benoît B. The Fractal Geometry of Nature. San Francisco: W. H. Freeman, 1983. Dostupné online. ISBN 0-7167-1186-9. S. 145. (anglicky) 
  3. ↑ Weisstein, Eric W.: Menger Sponge. MathWorld — A Wolfram Web Resource.

Literatura

Externí odkazy

Média použitá na této stránce

Menger-Schwamm-farbig.png
Autor: Niabot, Licence: CC BY 3.0
Menger Sponge after four iterations.
MengerCut20211019 8000x8000p60 x265 lossless medium 0000-3585.webm
Autor: PantheraLeo1359531, Licence: CC0
If the Menger sponge is cut at an angle, interesting structures such as stars or triangles result. Self-similarity is also an issue. Created with mandelbulber2. One more piece is removed frame per frame. The cutting is linear, meaning that the boundary of the fractal is increased by the same value with each frame. Beyond the boundary, the fractal is not rendered. At this boundary, the fractal looks truncated. And you can learn some things about properties of squares and triangles. Have fun!

Time stamps:
00:00 Beginning
00:13 Highest Iteration (largest cube cell form) truncated
00:20 3 cube corners cut, connection in the middle is dissolved
00:30 Half progress in the process (Frame 1800)
00:40 Similarities to Mitsubishi logo

MengerCut20211019 8000x8000p60 x265 lossless medium 0000 3585 mit Musik