Metoda řetězových zlomků

Metoda řetězových zlomků je numerický algoritmus navržený k řešení integrálních rovnic teorie rozptylu jako jsou Lippmann-Schwingerova rovnice nebo Faddeevovy rovnice. Byla vyvinuta Jiřím Horáčkem a T. Sasakawou ^[1] na Tohoku University v Sendai v Japonsku v roce 1983. Metoda řeší integrální rovnici tvaru

${\displaystyle |\psi \rangle =|\phi \rangle +G_{0}V|\psi \rangle }$

pomocí iterací, přičemž konstruuje řetězový zlomek pro T-matici

${\displaystyle T=\langle \phi |V|\psi \rangle .}$

Metoda existuje ve dvou variantách. V první z nich (označené zkratkou MCFV) konstruujeme aproximace operátoru potenciální energie ${\displaystyle V}$ ve formě separabilní funkce ranku 1, 2, 3 ... Ve druhé variantě (metoda MCFG^[2]) konstruujeme separabilní aproximace Greenova operátoru. Aproximace jsou konstruovány pomocí vektorů z Krylovova prostoru ${\displaystyle |\phi \rangle ,G_{0}V|\phi \rangle ,(G_{0}V)^{2}|\phi \rangle ,...}$. Tyto metody lze rovněž chápat jako resumaci (obecně divergentní) Bornovy řady pomocí Padého aproximantů. Metoda MCFV je rovněž úzce svázána se Schwingerovým variačním principem. Z numerického hlediska metoda vyžaduje stejnou výpočetní náročnost jako konstrukce členů Bornovy řady, ale mnohem rychleji konverguje.

Algoritmus MCFV

Prvním krokem odvození metody je zavedení separabilní aproximace potenciálu

${\displaystyle V={\frac {V|\phi \rangle \langle \phi |V}{\langle \phi |V|\phi \rangle }}+V_{1}.}$

Integrální rovnice se separabilním potenciálem se dá snadno vyřešit. Řešení původního problému pak lze vyjádřit jako

${\displaystyle |\psi \rangle =|\phi \rangle +T|\psi _{1}\rangle ,\qquad T={\frac {\langle \phi |V|\phi \rangle ^{2}}{\langle \phi |V|\phi \rangle -\langle \phi |V|\psi _{1}\rangle }},}$

pomocí funkce ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$, která řeší modifikovanou Lippmann-Schwingerovu rovnici

${\displaystyle |\psi _{1}\rangle =|\phi _{1}\rangle +G_{0}V_{1}|\psi _{1}\rangle ,}$

kde ${\displaystyle |\phi _{1}\rangle =G_{0}V|\phi \rangle .}$ Zbytkový potenciál ${\displaystyle V_{1}}$ je průhledný pro přicházející vlny

${\displaystyle V_{1}|\phi \rangle =\langle \phi |V_{1}=0,}$

tj. jde o slabší operátor, než původní potenciál. Nová rovnice pro ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ má stejný tvar jako původní rovnice a můžeme ji dále řešit stejnou úpravou. To vede na rekurentní relace

${\displaystyle V_{i}=V_{i-1}-{\frac {V_{i-1}|\phi _{i-1}\rangle \langle \phi _{i-1}|V_{i-1}}{\langle \phi _{i-1}|V_{i-1}|\phi _{i-1}\rangle }}}$

${\displaystyle |\phi _{i}\rangle =G_{0}V_{i-1}|\phi _{i-1}\rangle .}$

Dá se ukázat, že T-matici pro původní problém můžeme vyjádřit ve formě řetězového zlomku

${\displaystyle T={\cfrac {\beta _{0}^{2}}{\beta _{0}-\gamma _{1}-{\cfrac {\beta _{1}^{2}}{\beta _{1}-\gamma _{2}-{\cfrac {\beta _{2}^{2}}{\beta _{2}-\gamma _{3}-\ddots }}}}}},}$

kde jsme zavedli

${\displaystyle \beta _{i}=\langle \phi _{i-1}|V_{i-1}|\phi _{i-1}\rangle ,\qquad \gamma _{i}=\langle \phi _{i-1}|V_{i-1}|\phi _{i}\rangle .}$

Při praktických výpočtech nahradíme nekonečný řetězový zlomek konečným tak, že položíme

${\displaystyle \beta _{N}=\beta _{N+1}=\dots =0,\qquad \gamma _{N}=\gamma _{N+1}=\dots =0.}$

To je ekvivalentní předpokladu, že zbytkové řešení

${\displaystyle |\psi _{N}\rangle =|\phi _{N}\rangle +G_{0}V_{N}|\psi _{N}\rangle ,}$

je zanedbatelné. To je rozumný předpoklad, neboť zbytkový potenciál ${\displaystyle V_{N}}$ má všechny vektory ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle ,i=0,1,...,N-1}$ ve svém nulovém prostoru. Dá se ukázat, že potenciál konverguje k nule a řetězový zlomek konverguje k přesné T-matici.

Algoritmus MCFG

Druhá varianta algoritmu^[2] vychází z konstrukce aproximací Greenova operátoru

${\displaystyle G_{i+1}=G_{i}-{\frac {|\phi _{i+1}\rangle \langle \phi _{i+1}|}{\langle \phi _{i}|V|\phi _{i+1}\rangle }},}$

tentokrát pomocí vektorů

${\displaystyle |\phi _{i+1}\rangle =G_{i}V|\phi _{i}\rangle }$.

Vyjádření T-matice řetězovým zlomkem zůstává v platnosti, ale s trochu modifikovanou definicí koeficientů ${\displaystyle \beta _{i},\gamma _{i}}$^[2].

Vlastnosti a vztah k jiným metodám

Ukazuje se, že výrazy pro T-matici, vycházející z obou metod dávají určitou třídu variačních principů, což zdůvodňuje rychlou konvergenci. Ve speciálním případě první iterace metodu MCFV dostaneme stejný výsledek jako ze Schwingerova variačního principu s použitím testovací funkce ${\displaystyle |\psi \rangle =|\phi \rangle }$. V případě metody MCFV reprodukují vyšší iterace s N členy řetězového zlomku 2N členů Bornovy řady. Pro metodu MCFG je to dokonce 2N+1 členů. Dále se dá ukázat, že obě metody dají přesné řešení Lippmann-Schwingerovy rovnice pokud je potenciál operátor konečného ranku. Počet iterací je pak roven ranku potenciálu. Metoda řetězových zlomků byla úspěšně používána v jaderné^[3] a molekulové fyzice^[4].

Reference