Metoda konečných prvků

2D řešení magnetického pole (čáry značí směr magnetické indukce a barva její intenzitu)
2D síť pro obrázek výše, síť je jemnější v místech u objektu zájmu

Metoda konečných prvků (MKP, anglicky Finite element method, FEM) je numerická metoda sloužící k simulaci průběhů napětí, deformací, vlastních frekvencí, proudění tepla, jevů elektromagnetismu, proudění tekutin atd. na vytvořeném fyzikálním modelu. Její princip spočívá v diskretizaci spojitého kontinua (viz Galerkinova metoda) do určitého (konečného) počtu prvků. MKP je užívána především pro kontrolu již navržených zařízení, nebo pro stanovení kritického (nejnamáhanějšího) místa konstrukce. Ačkoliv jsou principy této metody známy již delší dobu, k jejímu masovému využití došlo teprve s nástupem moderní výpočetní techniky.

Historie

Teoretický základ pro MKP položili na počátku 20. století matematici Walther Ritz a Boris Galjorkin popsáním variační metody nazývané metoda Galerkinova.

Metoda konečných prvků vznikla díky potřebě řešit složité úlohy z pružnosti a strukturní analýzy v inženýrské praxi. Její počátky lze vysledovat v práci Alexandera Hrennikoffa (1941) a Richarda Couranta (1942)[zdroj?]. Ačkoliv byly přístupy použité těmito průkopníky v zásadě odlišné, měly jednu společnou charakteristiku: rozdělení spojité oblasti do množiny samostatných podoblastí.

Hrennikoffova práce rozděluje oblast pomocí mřížky, zatímco Courantův přístup dělí oblast do konečného množství trojúhelníkových elementů. Následuje řešení eliptických parciálních diferenciálních rovnic druhého stupně, které byly sestaveny z úlohy zabývající se krutem válce.

Vývoj MKP začal v 50. letech 20. století na univerzitě ve Stuttgartu prací Johna Argyrise a pokračoval na univerzitě v Berkeley prací Raye W. Clougha v 60. letech. Na konci 60. let nechala NASA vyvinout software NASTRAN pracující na principu MKP.

V roce 1965 Feng Kang navrhl numerickou metodu nazvanou „metoda konečných diferencí založená na principu variace“, což je ekvivalent MKP. Jeho práce zůstala západnímu světu dlouhá desetiletí skryta.

Princip

Metoda konečných prvků je založena na Lagrangeově principu: Těleso je v rovnováze, jestliže celková potenciální energie deformace soustavy je minimální.

Postup

Preprocesor (připravení modelu, diskretizace) → Solver (výpočet) → Postprocesor (zobrazení), konkrétněji:

  1. CAD Model
  2. Diskretizace modelu (nahrazení spojitého objemu modelu konečným počtem prvků, resp. uzlových bodů)
  3. Pro každý diskrétní bod získáme 3 rovnice – pole posuvů do všech směrů (x,y,z) a snažíme se spočítat pole deformací (6 rovnic) a pole napětí (6 rovnic)
  4. Nahrazení funkce posuvů polynomem a vyjádření funkce posuvů
  5. Zavedení okrajových podmínek
  6. Výpočet soustavy lineárních algebraických rovnic
  7. Výpočet deformací a napětí pro jednotlivé uzlové body
  8. Většinou grafické zobrazení na modelu s výpisem důležitých hodnot

Aplikace

MKP nachází uplatnění v mnoha oborech při vývoji produktů, zpravidla v oblasti strojního inženýrství (např. letecký a automobilní průmysl, biomechanika). Některé moderní programy MKP obsahují specifické nástroje (tepelné, elektromagnetické, fluidní a strukturální simulace).

MKP umožňuje detailní zobrazení struktur při ohýbání nebo kroucení, kompletní návrh, testování a optimalizaci ještě před vyrobením prototypu.

Tento mocný nástroj pro navrhování výrazně zlepšil i úroveň technických výkresů a způsob konstruování v mnohých průmyslových aplikacích. Zavedení MKP se výrazně snížila doba, od původního návrhu k hotovému výrobku. Stručně řečeno, k výhodám MKP patří především virtuální prototypování, méně fyzických prototypů, rychlejší a méně nákladný konstrukční cyklus, zvýšení produktivity a snížení nákladů.

Výhody výpočtových metod CAD systémů

  • Zkrácení vývojového času
  • Snížení výrobních nákladů na zavedení do výroby
  • Zvyšování kvality
  • Inovace, dodržování norem, …

Systémy

Jednotlivé (specializované) systémy:

Související články

Externí odkazy

Média použitá na této stránce

Example of 2D mesh.png
(c) I, Zureks, CC BY-SA 3.0
This is an example of a two-dimensional FEM (finite element method) mesh for a cylindrically shaped magnetic shield. The mesh is created by an analyst prior to solution by the FEM software. In this case "two dimensional" means that the picture shows a flat cross section of an assembly that extends to a large distance at right-angles to the paper (Cartesian coordinates). The rectangle outlined at the right of the picture has been designated the conducting component, which carries the electric current that creates the magnetic field. The cylindrical part has been designated to be a material of high magnetic permeability (for example iron). The gray areas have been designated air. The mesh is divided into smaller triangles inside the cylinder, which is an area where the lines of magnetic flux will be more concentrated. See also Image:FEM_example_of_2D_solution.png.
FEM example of 2D solution.png
(c) I, Zureks, CC BY-SA 3.0
This is an example of a two-dimensional FEM (finite element method) solution for a cylindrically shaped magnetic shield. In this case "two dimensional" means that the picture shows a flat cross section of an assembly that extends to a large distance at right-angles to the paper (Cartesian coordinates). The rectangle outlined at the right of the picture is the component carrying the electrical current that creates the magnetic field. The cylindrical part is a material of high magnetic permeability (for example iron) and is shielding the area inside the cylinder from magnetic field by diverting the magnetic field. The curved lines represent the direction of magnetic field (or more specifically, lines of B, magnetic flux), and the color represents the magnetic flux density, as indicated by the color scale in the inset legend. Red is high amplitude, where the flux lines are more closely spaced. The color scale does not indicated the units, although it is possible they are Tesla. In the legend the vertical lines beside the 'B' indicate that the value plotted is the magnitude of the vector quantity B. The annotation "smoothed" indicates that the segmented lines (created by dividing the space into separate elements) have been smoothed for a more natural and correct appearance. The area inside the cylinder is low amplitude (dark blue, with widely spaced lines of magnetic flux)), suggesting that the shield is performing as it was designed to. See also Image:Example of 2D mesh.png