Minimální polynom (teorie těles)

Minimální polynom je pojem z teorie těles, podoboru abstraktní algebry.

Definice

Nechť ${\displaystyle S/T}$ je tělesové rozšíření a je dán prvek ${\displaystyle a\in S}$. Pak je minimálním polynomem prvku ${\displaystyle a}$ takový monický polynom z polynomiálního okruhu ${\displaystyle T[x]}$, kterého je ${\displaystyle a}$ kořenem a který je mezi takovými polynomy nejmenšího stupně.

Existence a jednoznačnost

Minimální polynom může existovat pouze k algebraickým prvkům – pokud je prvek transcendentní a tedy není kořenem žádného polynomu z ${\displaystyle T[x]}$, pak nelze hledat mezi takovými polynomy polynom monický a nejnižšího stupně.

Je-li ovšem prvek ${\displaystyle a}$ algebraický, pak je množina všech polynomů, jejichž je kořenem, vlastním ideálem. A protože ${\displaystyle T[x]}$ je oborem hlavních ideálů, jedná se o hlavní ideál generovaný nějakým polynomem ${\displaystyle r(x)}$, ke kterému je jednoznačně asociovaný monický polynom, což je hledaný minimální polynom.

Vlastnosti

• Minimální polynom musí být ireducibilní.

Příklady

• Rozšíření ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$, tedy tělesa reálných čísel nad tělesem racionálních čísel, sice není algebraické, ale některé jeho prvky ano: Například ${\displaystyle a={\sqrt {2}}}$ je kořenem polynomu ${\displaystyle p(x)=x^{2}-2}$, který je přímo i jeho minimálním polynomem.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Minimal polynomial (field theory) na anglické Wikipedii.

Literatura

• STANOVSKÝ, David. Základy algebry. Praha: Matfyzpress, 2010. 153 s. ISBN 978-80-7378-105-7. (čeština)