Minkowského prostor

Minkowského prostor se používá k popisu časoprostoru ve speciální teorii relativity. Matematicky jde o 4rozměrný reálný lineární vektorový prostor s pseudoskalárním součinem. Změnu inerciální vztažné soustavy odpovídající Lorentzově transformaci lze chápat geometricky jako otáčení v Minkowského prostoru. Stejnou rotací přitom projdou čtyřvektory všech fyzikálních veličin.

Složky vektoru

Vektor v Minkowského prostoru ${\displaystyle \mathbf {a} =a^{\mu }\mathbf {e} _{\mu }}$ má 4 souřadnice

${\displaystyle a^{\mu }=\left(a^{0},a^{1},a^{2},a^{3}\right)\,.}$

První z nich nazýváme časová složka nebo časová komponenta ${\displaystyle t}$, ostatní tři odpovídají prostorovým souřadnicím ${\displaystyle x,y,z}$. Někdy se na časové ose používá jiné měřítko, což odpovídá konvenci měření času v sekundách a vzdálenosti v metrech. Přepočet mezi sekundou a metrem je dán rychlostí světla ve vakuu ${\displaystyle c=299\,792\,458\ \mathrm {m.s^{-1}} }$. V tomto článku předpokládáme na všech osách stejné měřítko, což odpovídá ${\displaystyle c=1}$. Vizte též přirozená soustava jednotek.

Skalární součin

Skalární součin dvou vektorů v Minkowského prostoru (${\displaystyle \mathbf {a} =a^{\mu }\mathbf {e} _{\mu },\ \mathbf {b} =b^{\mu }\mathbf {e} _{\mu }}$ ) je definován vztahem

${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle \equiv a_{\mu }b^{\mu }=\eta _{\mu \nu }a^{\mu }b^{\nu }=-a_{0}b_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\,.}$

Jako v eukleidovském prostoru, dva vektory nazýváme kolmými (ortogonálními), jestliže jejich skalární součin je roven nule.

Minkowského norma

Norma vektoru v Minkowského prostoru má trochu jiné vlastnosti než Eukleidovská norma, protože popisuje odlišnou geometrii. Předně, Minkowského norma není pozitivně definitní, může tedy nabývat i záporných hodnot. Je definována jako skalární součin vektoru se sebou samým.

${\displaystyle ||\mathbf {a} ||^{2}=\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle =-a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$

Vektor je nazýván jednotkovým, pokud platí ${\displaystyle ||\mathbf {a} ||^{2}=\pm 1}$.

Báze

Standardní bázi Minkowského prostoru tvoří 4 ortogonální jednotkové vektory ${\displaystyle \mathbf {e} _{0},\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$, pro které platí

${\displaystyle -||\mathbf {e} _{0}||^{2}=||\mathbf {e} _{1}||^{2}=||\mathbf {e} _{2}||^{2}=||\mathbf {e} _{3}||^{2}=1\,.}$

Tuto podmínku lze stručně zapsat jako

${\displaystyle \langle \mathbf {e} _{\mu },\mathbf {e} _{\nu }\rangle =\eta _{\mu \nu }\,,}$

kde ${\displaystyle \eta }$ je diagonální matice

${\displaystyle \eta =\operatorname {diag} \left(-1,1,1,1\right)={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\,.}$

Související články

• Vektorový prostor
• Čtyřvektor
• Lorentzova transformace

Externí odkazy

• Minkowského prostor v encyklopedii MathWorld (anglicky)