Moivreova věta

Moivreova (čti [mwavʁova] IPA) věta říká, že pro libovolné komplexní číslo (a speciálně tedy i reálné číslo) x a libovolné celé číslo n platí:

kde i je imaginární jednotka.

Tento vztah je důležitý, neboť propojuje komplexní číslagoniometrií.

Výraz se někdy zkracuje na .

Roznásobením levé strany a porovnáním reálných a imaginárních částí je možno odvodit vztahy pro vyjádření cos(nx) a sin(nx) pomocí cos(x) a sin(x).

Moivreovu větu lze také použít k vyjádření n-té odmocniny jedničky, tedy k nalezení takového komplexního čísla z, pro které platí zn = 1.

Abraham de Moivre byl dobrým přítelem Newtona a roku 1698 dokonce napsal, že Newtonovi byl tento vzorec znám již v roce 1676.

Tato věta může být odvozena též z Eulerova vzorce eix = cos x + i sin x , který je ovšem historicky mladší.

Užití věty

Větu lze použít k výpočtu n-té odmocniny z komplexního čísla.

Zapíšeme-li komplexní číslo v jeho goniometrickém tvaru

pak všech jeho odmocnin -tého stupně lze zapsat jako

Důkaz

Uvažujme tři případy:

Pro n > 0 použijeme indukci. Pro n = 1 rovnost evidentně platí. Uvažujme indukční krok nn0 + 1

(z indukčního předpokladu)

Zde použijeme goniometrické součtové vzorce: sin(x + y) = sin(x)*cos(y) + cos(x)*sin(y) a cos(x + y) = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y).

Odvodili jsme, že rovnost platí pro n = n0 + 1, jestliže platí pro n0, a tedy indukcí platí pro všechna n přirozená.

Pro n = 0 rovnost platí, protože a nultá mocnina z komplexního čísla je též 1.

Pro n < 0 vezměme přirozené m takové, aby n = −m. Potom

(shora)

Tvrzení tedy platí pro všechna n celá. Q.E.D.

Poznámka: Moivreova věta je ve skutečnosti trochu obecnější, pokud by z a w byla čísla komplexní, pak cos (wz) + i⋅sin (wz) je jednou z (více) možných úprav výrazu (cos z + i⋅sin z)w.

Související články