Moment hybnosti

Moment hybnosti je vektorová fyzikální veličina, která popisuje dynamicky rotační pohyb tělesa.

Moment hybnosti se určuje vzhledem k bodu nebo ose otáčení.

Moment hybnosti bývá také označován jako kinetický moment, impulsmoment nebo točivost (starší literatura).

• Symbol veličiny: ${\displaystyle \mathbf {L} }$ , někdy také b (vektor)
• Jednotka SI: kilogram krát metr na druhou za sekundu, značka jednotky: kg·m²·s⁻¹

Moment hybnosti ${\displaystyle \mathbf {L} }$ hmotného bodu vzhledem k počátku soustavy souřadnic je určen vektorovým součinem jeho průvodiče ${\displaystyle \mathbf {r} }$ a hybnosti ${\displaystyle \mathbf {p} }$,

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$.

Vyjdeme-li ze vztahu ${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} }$ pro moment síly, pak lze provést následující úpravu

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=\left(\mathbf {r} \times {\frac {\mathrm {d} (m\mathbf {v} )}{\mathrm {d} t}}\right)+\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\times m\mathbf {v} \right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {r} \times m\mathbf {v} )={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}}$,

kde ${\displaystyle \mathbf {r} }$ je polohový vektor, ${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}}$ je rychlost, ${\displaystyle m}$ je hmotnost (hmotného bodu), ${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$ je hybnost, ${\displaystyle \mathbf {M} }$ je moment síly, ${\displaystyle \mathbf {L} }$ je moment hybnosti, ${\displaystyle \mathbf {F} }$ je síla. Při výpočtu bylo využito skutečnosti, že vektorový součin ${\displaystyle \mathbf {v} \times m\mathbf {v} }$, tzn. v rovnici člen ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\times m\mathbf {v} \right)}$, je roven nule, a proto jej můžeme k rovnici bez obav přičíst. Tím bylo možno následně použít vzorec pro derivaci vektorového součinu.

Předchozí vztah lze slovně popsat tak, že změna momentu hybnosti vzhledem k danému bodu ${\displaystyle O}$ je co do velikosti i směru rovna momentu síly (vzhledem k témuž bodu), který na hmotný bod působí.

V soustavě hmotných bodů platí pro ${\displaystyle i}$-tý hmotný bod podle vztah ${\displaystyle \mathbf {M} _{i}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{i}}{\mathrm {d} t}}}$. Z vlastností momentu síly pak plyne

${\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {M} _{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{i}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {L} _{i}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}}$,

kde ${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {L} _{i}}$ představuje celkový moment hybnosti.

Vztah mezi plošnou rychlostí ${\displaystyle \mathbf {w} }$ a momentem hybnosti je

${\displaystyle \mathbf {L} =m\mathbf {w} }$,

což souvisí s platností druhého Keplerova zákona.

Při kruhovém pohybu lze rychlost vyjádřit jako ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {\omega } \times \mathbf {r} }$. Moment hybnosti soustavy ${\displaystyle n}$ hmotných bodů vzhledem k těžišti lze pak vyjádřit vztahem

${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}\left[\mathbf {r} _{i}\times m_{i}(\mathbf {\omega } \times \mathbf {r} _{i})\right]}$

kde ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ označuje polohu ${\displaystyle i}$-tého hmotného bodu s hmotností ${\displaystyle m_{i}}$ vzhledem k těžišti a ${\displaystyle \mathbf {\omega } }$ je úhlová rychlost pohybu tělesa kolem osy rotace jdoucí těžištěm.

Použitím dvojnásobného vektorového součinu dostaneme

${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[r_{i}^{2}\mathbf {\omega } -(\mathbf {\omega } \cdot \mathbf {r} _{i})\mathbf {r} _{i}\right]}$

Moment hybnosti tělesa vzhledem k těžišti má tedy dvě složky. První má směr úhlové rychlosti, tedy směr osy rotace, druhá má ale jiný směr. Moment hybnosti tedy obecně nemá směr rotační osy. Označíme-li složky úhlové rychlosti ${\displaystyle \mathbf {\omega } }$ vzhledem k libovolné soustavě souřadnic s počátkem v těžišti a pevně spojené s tělesem jako ${\displaystyle \omega _{x},\omega _{y},\omega _{z}}$ a složky průvodiče ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ jako ${\displaystyle x_{i},y_{i},z_{i}}$, můžeme předchozí vztah rozepsat do složek. Z vyjádření momentu setrvačnosti ${\displaystyle J}$ pak lze získat

${\displaystyle L_{x}=\omega _{x}J_{x}-\omega _{y}D_{xy}-\omega _{z}D_{zx}}$

${\displaystyle L_{y}=\omega _{y}J_{y}-\omega _{z}D_{yz}-\omega _{x}D_{xy}}$

${\displaystyle L_{z}=\omega _{z}J_{z}-\omega _{x}D_{zx}-\omega _{y}D_{yz}}$

kde ${\displaystyle J_{i}}$ jsou momenty setrvačnosti k ${\displaystyle i}$-té ose a ${\displaystyle D_{ij}}$ jsou deviační momenty.

Pokud vztáhneme složky momentu hybnosti k soustavě souřadnic totožné s hlavními osami centrálního elipsoidu setrvačnosti, deviační momenty vymizí, a složky momentu hybnosti vzhledem k hlavním osám budou

${\displaystyle L_{1}=J_{1}\omega _{1}}$

${\displaystyle L_{2}=J_{2}\omega _{2}}$

${\displaystyle L_{3}=J_{3}\omega _{3}}$

Pokud se těleso otáčí kolem osy, která je totožná s jednou z hlavních os setrvačnosti nebo kolem pevné osy, jsou složky úhlové rychlosti k osám kolmým k rotační ose nulové a moment hybnosti lze zapsat jako

${\displaystyle \mathbf {L} =J\mathbf {\omega } }$

Moment setrvačnosti je možno brát jako symetrický tenzor druhého řádu podle formule

${\displaystyle J_{\kappa \lambda }=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[r_{i}^{2}\delta _{\kappa \lambda }-r_{\kappa }r_{\lambda }\right]}$

(řecké indexy označují tři složky tenzorů, symbol ${\displaystyle \delta _{\kappa \lambda }}$ označuje Kroneckerovo delta ). Moment hybnosti tělesa je potom možno vyjádřit ve tvaru

${\displaystyle L_{\kappa }=\sum _{\lambda =1}^{3}J_{\kappa \lambda }\omega _{\lambda }}$

a rotační energii tělesa ve tvaru

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}\sum _{\kappa ,\lambda =1}^{3}J_{\kappa \lambda }\omega _{\kappa }\omega _{\lambda }}$

Moment hybnosti tedy nemusí být nutně rovnoběžný s osou rotace, ale pokud nepůsobí vnější síla, zachovává svou velikost a směr. Naopak okamžitá osa rotace může vykonávat složitý precesní pohyb.

Pro časový účinek momentu síly můžeme v analogii s impulsem síly získat vztah pro impuls momentu hybnosti (rotační impuls) ${\displaystyle \mathbf {b} }$

${\displaystyle \mathbf {L} -\mathbf {L} _{0}=\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {M} \mathrm {d} t=\mathbf {b} }$

Pokud je silový moment ${\displaystyle \mathbf {M} }$ po celou dobu působení stálý, je možné předchozí výraz zjednodušit na tvar

${\displaystyle \mathbf {L} -\mathbf {L} _{0}=\mathbf {M} (t-t_{0})}$

Moment hybnosti má při rotačním pohybu podobný význam jako hybnost při pohybu přímočarém. Podobně jako je hybnost součinem hmotnosti a rychlosti v případě translačního pohybu, tak je moment hybnosti (tenzorovým) součinem momentu setrvačnosti a úhlové rychlosti v případě rotačního pohybu.

Pro celkový moment hybnosti izolované soustavy platí jeden z nejdůležitějších fyzikálních zákonů, zákon zachování momentu hybnosti. Pokud je celkový moment vnějších sil působících na soustavu nulový, tak se její celkový moment hybnosti zachovává. Platí například pro pohyb v poli centrální síly, jako v případě planet obíhajících okolo Slunce (2. Keplerův zákon).

Součet momentů vnitřních sil v soustavě je roven nule, protože:

1. Dva body na sebe působí silou přitažlivou nebo odpudivou (tzn. má směr shodný se směrem jejich spojnice)

2. Působí-li bod A na bod B, pak bod B působí na bod A silou stejně velikou, ale opačně orientovanou

Uvažme tedy vzoreček pro moment sil v soustavě hmotných bodů: ${\displaystyle \mathbf {M} _{i}}$ je moment hybnosti ${\displaystyle i}$-tého bodu. Mezi ${\displaystyle i}$-tým a ${\displaystyle j}$-tým bodem působí síla ${\displaystyle \mathbf {F} _{i,j}=-\mathbf {F} _{j,i}}$. Celkový moment vnitřních sil je ${\displaystyle \sum \mathbf {M} _{i}=\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times \sum _{j}\mathbf {F} _{i,j}=\sum _{i}\sum _{j}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i,j}}$. Uvažujme nyní pouze interakci ${\displaystyle i}$-tého a ${\displaystyle j}$-tého bodu: ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i,j}+\mathbf {r} _{j}\times \mathbf {F} _{j,i}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i,j}-\mathbf {r} _{j}\times \mathbf {F} _{i,j}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})\times \mathbf {F} _{i,j}}$,

kde ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}}$ je spojnice ${\displaystyle i}$-tého a ${\displaystyle j}$-tého bodu. Dle prvního předpokladu na sebe tyto body působí silou, která je s jejich spojnicí rovnoběžná. A jak známo, vektorový součin rovnoběžných vektorů je roven nule.

V kvantové mechanice je moment hybnosti vždy kvantován. Výsledkem měření jedné komponenty momentu hybnosti (impulsmomentu) mohou být pouze násobky redukované Planckovy konstanty. Kvantován je i kvadrát momentu hybnosti.

Zcela novou vlastností je spin částic, vnitřní moment hybnosti určité částice. Na rozdíl od orbitálního impulsmomentu, který byl zmíněn výše, může nabývat komponenta spinu i poločíselných hodnot.

Při zavedení kvantového impulsmomentu vyjdeme z principu korespondence, kvantový impulsmoment je tedy definován takto:

${\displaystyle \mathbf {\hat {L}} =\mathbf {\hat {r}} \times {\hat {p}}}$

Z komutačních relací pro souřadnici a impuls ${\displaystyle [{\hat {X}}_{k},{\hat {P}}_{l}]=i\hbar \delta _{kl}}$ lze odvodit komutační relace pro impulsmoment:

${\displaystyle [{\hat {L}}_{k},{\hat {L}}_{l}]=i\hbar \varepsilon _{kln}{\hat {L}}_{n}}$

Z těchto komutačních relací již plyne kvantování impulsmomentu. Pro vlastní vektory kvadrátu impulsmomentu a jeho třetí komponenty platí:

${\displaystyle \mathbf {{\hat {L}}^{2}} |lm\rangle =\hbar ^{2}l(l+1)|lm\rangle }$

${\displaystyle {\hat {L}}_{3}|lm\rangle =\hbar m|lm\rangle }$

Kde l je nezáporné celé nebo polocelé číslo. Pro určitou hodnotu l může kvantové číslo m nabývat pouze hodnot -l,-l+1,...,l-1,l, tedy celkem 2l+1 hodnot.

• Hybnost
• Moment setrvačnosti
• Zákon zachování momentu hybnosti
• Rotační pohyb
• Orbitální moment hybnosti (záření)

• Obrázky, zvuky či videa k tématu moment hybnosti na Wikimedia Commons
• Slovníkové heslo moment hybnosti ve Wikislovníku