Moment síly

Moment síly
Název veličiny a její značka	Moment síly M
Hlavní jednotka SI a její značka	newton metr Nm
Definiční vztah	${\displaystyle {\boldsymbol {M}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}}$
Dle transformace složek	pseudovektorová
Zařazení jednotky v soustavě SI	odvozená

je vektorová fyzikální veličina, která vyjadřuje míru otáčivého účinku síly.

Otáčivý účinek síly se vztahuje k danému bodu nebo přímce. Bod, ke kterému se moment síly určuje, se nazývá momentovým bodem. Kolmá vzdálenost ${\displaystyle p}$ síly od její osy k bodu je tzv. rameno síly.

Bod, vůči němuž se určuje moment síly, nemusí být bodem ležícím na ose otáčení. Moment síly můžeme určit vzhledem k libovolnému bodu, a to i k bodům, které se nachází mimo zkoumané těleso.

Moment síly je definován jako součin síly a kolmé vzdálenosti osy síly od daného bodu. Velikost momentu síly tedy závisí na velikosti síly a na vzdálenosti od osy otáčení (čím dále síla působí, tím větší moment síly vznikne, obě veličiny jsou přímo úměrné).

Směr vektoru momentu síly je kolmý na rovinu síly a polohového vektoru působiště, určuje se pravidlem pravé ruky: Zahnuté prsty pravé ruky ukazují směr otáčivého účinku síly (směr otáčení tělesa), vztyčený palec ukazuje směr momentu síly.

V případech, kdy je potřeba charakterizovat otáčivý účinek síly na soustavu s pevně danou osou otáčení, používá se příbuzná veličina točivý moment, která představuje průmět obecného momentu síly do osy otáčení.

Značení

• Symbol veličiny: ${\displaystyle {\boldsymbol {M}}}$
• Odvozená jednotka SI: newton metr, značka jednotky: Nm

Výpočet

Nechť ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ je vzhledem k libovolnému bodu ${\displaystyle O}$ určeno polohovým vektorem ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$. Moment síly vzhledem k bodu ${\displaystyle O}$ je pak určen vztahem

${\displaystyle {\boldsymbol {M}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}}$

Vektory ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ definují rovinu, k níž je výsledný vektor ${\displaystyle {\boldsymbol {M}}}$ kolmý. Směr vektoru ${\displaystyle {\boldsymbol {M}}}$ určuje směr osy otáčení (rotace). Tato osa prochází bodem ${\displaystyle O}$, ke kterému moment síly určujeme.

Pokud je ${\displaystyle \alpha }$ úhel mezi vektory ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$, pak lze z předchozího vztahu získat velikost momentu jako

${\displaystyle M=Fr\sin \alpha }$

Tento vztah lze chápat dvěma způsoby

• ${\displaystyle M=r(F\sin \alpha )}$

V tomto případě chápeme vztah jako součin délky průvodiče ${\displaystyle r}$ a složky síly ${\displaystyle F_{k}=F\sin \alpha }$ kolmé na tento průvodič. Složka ${\displaystyle F_{k}}$ má otáčivou schopnost, zatímco složka ${\displaystyle F_{r}}$, která je kolmá na ${\displaystyle F_{k}}$ a rovnoběžná s průvodičem ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$, tuto schopnost nemá.

• ${\displaystyle M=F(r\sin \alpha )}$

V tomto případě lze vztah chápat jako součin síly o velikost ${\displaystyle F}$ a ramene síly ${\displaystyle p=r\sin \alpha }$, tedy

${\displaystyle M=Fp}$.

Ramenem síly ${\displaystyle p}$ se rozumí kolmá vzdálenost vektorové přímky síly od bodu ${\displaystyle O}$ (tedy bodu, vůči němuž moment síly určujeme).

Moment obecné síly na obecné páce v rovině:

${\displaystyle M=F.r.(\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta )}$

Vlastnosti

• Pokud určujeme moment síly vzhledem k bodu, je ${\displaystyle \mathbf {M} }$ kolmé k průvodiči ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ a současně k síle ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$. V případě, že určujeme moment síly k ose, leží ${\displaystyle {\boldsymbol {M}}}$ ve zvolené ose.
• Moment síly vzhledem k ose se definuje jako průmět momentu síly vzhledem k bodu osy do této síly. Moment síly vzhledem k ose tedy leží ve zvolené ose. Působící síla tedy neurčuje směr momentu síly (jako v případě momentu vzhledem k bodu), ale pouze velikost tohoto momentu.
• Při řešení se postupuje tak, že působištěm síly se proloží rovina kolmá k ose, ke které se určuje moment síly. Vektor síly ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ je pak promítnut do této roviny, čímž se získá složka ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{\prime }}$, která je odpovědná za otáčení. Průsečík osy, k níž se určuje moment síly, a roviny, v níž leží ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{\prime }}$, je bodem, k němuž se určí moment síly.
• Působí-li ve společném působišti několik sil ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{i}}$, je jejich celkový účinek dán výslednicí sil ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}={\boldsymbol {F}}_{1}+{\boldsymbol {F}}_{2}+\cdots +{\boldsymbol {F}}_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {F}}_{i}}$ a výsledný moment je dán vztahem ${\displaystyle {\boldsymbol {M}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {R}}={\boldsymbol {r}}\times ({\boldsymbol {F}}_{1}+{\boldsymbol {F}}_{2}+\cdots +{\boldsymbol {F}}_{n})}$.

Z distributivního zákona pro vektorový součin pak dostaneme

${\displaystyle {\boldsymbol {M}}=({\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}_{1})+({\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}_{2})+\cdots +({\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}_{n})={\boldsymbol {M}}_{1}+{\boldsymbol {M}}_{2}+\cdots +{\boldsymbol {M}}_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {M}}_{i}}$

Výsledný moment sil působících v jednom bodě vzhledem k libovolnému bodu je tedy roven vektorovému součtu momentů všech složek k danému bodu.

Související články

• Mechanika
• Mechanika tuhého tělesa
• Varignonova momentová věta (2. věta impulsová)
• Dvojice sil, Moment dvojice sil
• Točivý moment (krouticí moment)
• Ohybový moment
• Impuls momentu síly