Moment setrvačnosti
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b4/Moment_of_inertia_rod_center.svg/220px-Moment_of_inertia_rod_center.svg.png)
Moment setrvačnosti je skalární fyzikální veličina, která vyjadřuje míru setrvačnosti tělesa při otáčivém pohybu. Její velikost závisí na rozložení hmoty v tělese vzhledem k ose otáčení. Body (části) tělesa s větší hmotností a umístěné dál od osy mají větší moment setrvačnosti. Kvadratický moment průřezu se někdy také nazývá moment setrvačnosti a to i přesto, že není mírou setrvačnosti tělesa.
Značení
- Symbol veličiny: J , někdy také I
- Jednotka momentu setrvačnosti SI: kilogram krát metr na druhou, značka jednotky: kg·m2. V případě, že se počítá Kvadratický moment průřezu, tak má jednotku m4.
Výpočet
Diskrétní rozložení hmoty
Při otáčivém pohybu soustavy hmotných bodů kolem nehybné osy opisují jednotlivé hmotné body kružnice, jejichž středy leží na ose otáčení. Úhlová rychlost všech bodů je stejná.
Celkovou kinetickou energii určíme jako součet kinetických energií všech hmotných bodů soustavy, tzn.
- ,
kde je hmotnost -tého hmotného bodu, je velikost jeho rychlosti, je jeho (kolmá) vzdálenost od osy otáčení a bylo využito toho, že rychlost bodu při kruhovém pohybu je přímo úměrná vzdálenosti bodu od osy otáčení, tzn. . Předchozí vztah lze upravit na tvar
- ,
kde veličina představuje moment setrvačnosti tělesa k ose otáčení. Moment setrvačnosti soustavy hmotných bodů je tak definován vztahem
Spojité rozložení hmoty
V mechanice kontinua (tedy v případě spojitě rozložené hmoty) lze k určení momentu setrvačnosti použít vztah
- ,
kde integrace se provádí přes celé těleso o celkové hmotnosti .
Je-li hustota tělesa, pak , kde je objem tělesa a moment setrvačnosti lze vyjádřit ve tvaru
Integruje se přes objem celého tělesa .
V případě, že je těleso homogenní, tzn. , je možné předchozí vztah zjednodušit
Poloměr setrvačnosti
Moment setrvačnosti je také možné zapsat jako součin celkové hmotnosti tělesa a čtverce jisté střední vzdálenosti , ve které by musela být soustředěna veškerá hmotnost tělesa, aby moment setrvačnosti byl roven momentu celého tělesa.
Vzdálenost se nazývá poloměr setrvačnosti nebo gyrační poloměr.
Momenty setrvačnosti některých těles
Pro praktické použití je vhodná znalost některých často používaných momentů setrvačnosti.
- Moment setrvačnosti tyče délky a hmotnosti vzhledem k ose procházející středem délky tyče, kolmo k její délce.
- Moment setrvačnosti tyče délky a hmotnosti vzhledem k ose procházející koncem tyče kolmo k její délce.
- Moment setrvačnosti plného válce o poloměru a hmotnosti vzhledem k ose souměrnosti.
- Moment setrvačnosti tlustostěnného pláště válce o vnitřním poloměru a vnějším poloměru a hmotnosti vzhledem k ose souměrnosti.
- Moment setrvačnosti tenké obruče o poloměru a hmotnosti vzhledem k ose souměrnosti.
- Moment setrvačnosti obdélníku o rozměrech a a hmotnosti vzhledem k normále od středu obdélníku.
Steinerova věta
Moment setrvačnosti vzhledem k ose procházející mimo těžiště tělesa lze určit podle Steinerovy věty jako součet momentu setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose procházející těžištěm a součinu hmotnosti a čtverce vzdálenosti od těžiště, tzn.
- ,
kde je moment setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose jdoucí těžištěm tělesa, je hmotnost tělesa a je kolmá vzdálenost těžiště od osy otáčení.
Tenzor setrvačnosti
Otáčí-li se soustava hmotných bodů kolem libovolné osy úhlovou rychlostí , má kinetická energie tohoto rotačního pohybu hodnotu
- ,
kde je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose , je rychlost -tého hmotného bodu soustavy, a je polohový vektor -tého hmotného bodu vzhledem k počátku zvolené soustavy souřadnic, kterým prochází osa .
Vektor , který směřuje podél osy lze vyjádřit prostřednictvím jeho složek vzhledem k souřadnicovým osám . Předchozí vztah je pak možno rozepsat do tvaru
a rozepíšeme-li v tomto výrazu jednotlivé mocniny, dostaneme po úpravě
Pro kinetickou energii pak dostáváme výraz
- ,
kde
jsou momenty setrvačnosti vzhledem k souřadnicovým osám a
jsou deviační momenty.
Předchozí vztahy platí pro těleso popsané soustavou hmotných bodů. Považujeme-li hmotu v tělese za spojitě rozloženou, přejdeme od sumace k integraci a pro momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám dostaneme
Pro deviační momenty získáme podobně vztahy
Vektor , který leží v ose je možné využít k získání směrových kosinů rotační osy, tzn. , kde je velikost vektoru . Po dosazení do výrazů pro kinetickou energii a po úpravě dostaneme výraz pro výpočet momentu setrvačnosti vzhledem k ose, která svírá se souřadnicovými osami úhly
Změní-li se směr osy vzhledem k tělesu, změní se také velikost momentu setrvačnosti . Toto rozložení charakterizuje elipsoid setrvačnosti.
Momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám a deviační momenty lze uspořádat do tzv. tenzoru setrvačnosti:
- ,
kde symbol představuje tenzorový součin, jehož výsledkem je symetrická čtvercová matice.
Kvadratický moment průřezu (tzv. plošný moment setrvačnosti)
Kvadratický moment průřezu resp. kvadratický moment plochy (nesprávně nazývaný jako plošný moment setrvačnosti, neboť tento se setrvačností těles nemá nic společného) se využívá velmi často v mechanice např. při výpočtu průhybů nosníků, napětí, ztrátě stability atp.
U kvadratického momentu průřezu se obvykle jedná o moment rovinné plochy. Pro výpočet můžeme použít vztahy pro výpočet momentu setrvačnosti k ose, přičemž položíme . Hmotnostní element je pak , kde je plošná hustota zkoumané plochy (obecně závislá na a ).
Kvadratické momenty plochy k osám jsou tedy
Z deviačních momentů je nenulový pouze
Pokud je plocha homogenní (plošná hustota je konstantní), můžeme ji vytknout před integrál a vztahy se zjednoduší na
Namísto elipsoidu setrvačnosti dostáváme elipsu setrvačnosti.
Položíme-li do těžiště tělesa počátek pravoúhlé soustavy souřadnic, potom kvadratické momenty ke třem vzájemně kolmým rovinám, proloženým souřadnicovými osami, jsou
Srovnáním s momenty setrvačnosti k osám pak platí
Polární kvadratický moment plochy (plošný moment setrvačnosti)
Kvadratické momenty plochy můžeme určovat nejenom k ose, ale také k bodu, kdy se jedná o tzv. polární kvadratický moment.
Polární kvadratický moment části rovinné plochy (vzhledem k počátku souřadné soustavy ) je
Odkazy
Literatura
- Jozef Kvasnica, Antonín Havránek, Pavel Lukáč, Boris Sprušil Mechanika, Nakladatel: Academia, ISBN 80-200-1268-0, EAN 9788020012685, Rok vydání: 2004 (2. vydání)
- Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).
- Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9
- Symon KR. (1971) Mechanics, 3rd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7
- Online výpočet momentu setrvačnosti základních těles.
Související články
Externí odkazy
Obrázky, zvuky či videa k tématu moment setrvačnosti na Wikimedia Commons
Média použitá na této stránce
Autor: Andrejdam, Licence: CC BY-SA 4.0
The experiment shows the conservation of angular momentum. When the experimenter keeps his arms close to his body, the moment of inertia of the body is small. When his arms are wide open, then the moment of inertia increases, while the angular velocity decreases. In that way, the product of the angular momentum and the angular velocity is constant i.e. angular momentum is conserved. Prepared, performed and explained by Prof. Oliver Zajkov at the Physics Institute at the Ss. Cyril and Methodius University of Skopje, Macedonia.
Autor: Krishnavedala, Licence: CC0
Moment of Inertia of a thin rod about an axis perpendicular to the length of the rod and passing through its center.