Monáda (funkcionální programování)

Monáda je funktoriální datový typ vybavený dvěma přirozenými transformacemi umožňujícími asociativní skládání operací nad monádami. Formálně je monáda monoidem v kategorii endofunktorů v kategorii typů (v Haskellu kategorie Hask). Obecně je-li ${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I)}$ tenzorová kategorie (kde ${\displaystyle \otimes }$ je bifunktor a ${\displaystyle I\in \mathrm {Ob} ({\mathcal {C}})}$), monády jsou monoidy v ${\displaystyle ([{\mathcal {C}},{\mathcal {C}}],\circ ,I)}$.

Přirozené transformace jsou u každé monády ${\displaystyle T}$ multiplikace ${\displaystyle \mu :T^{2}\rightarrow T}$ a jednotka ${\displaystyle \eta :I\rightarrow T}$ splňující ${\displaystyle \mu \circ \mu T=\mu \circ T\mu (T^{3}\rightarrow T)}$ a ${\displaystyle \mu \circ \eta T=1=\mu \circ T\eta }$. Ve funkcionálním programování se tyto operace zpravidla nazývají join a unit. Příkladem monády je kontinuace, kde ${\displaystyle \eta }$ je funkcí z ${\displaystyle A}$ do ${\displaystyle (A\rightarrow R)\rightarrow R}$ definovaná jako ${\displaystyle \eta x=\lambda f.f(x)}$ a speciální operace vázání je ${\displaystyle m>\!\!\!>\!\!=f=\lambda g.m(\lambda x.f(x)(g))}$, přičemž ${\displaystyle \mu x}$ je ${\displaystyle x>\!\!\!>\!\!=\lambda y.y}$.

Monády umožňují formulovat kód s vedlejšími efekty tak, aby byl referenčně transparentní, a tedy „čistý“ (ve funkcionálním smyslu). Monády jsou zpravidla generické a jejich druh je ${\displaystyle (*\rightarrow *)\rightarrow *}$.

Z každého endofunktoru lze vytvořit volnou monádu.

Kontinuace v C++ lze reprezentovat (s využitím statického polymorfismu) následující třídou:

template<typename T> class Cont {
    std::function<std::any(const std::function<std::any(T)>&)> fn;
public:
    Cont(const decltype(fn)& f) : fn(f) {}
    Cont(T&& x) : fn([x](auto f) { return f(x); }) {}
    std::any operator()(const std::function<std::any(T)>& f) const { return fn(f); }
};

Aby byla Cont funktorem, musíme implementovat fmap nebo bind:

template<template<typename> class M, typename T, typename U> struct Bind;
template<typename T, typename U> struct Bind<Cont,T,U> {
    std::function<Cont<U>(T)> f;
    auto operator()(const Cont<T>& m) {
        return [this,m](auto g) {
            return m([this,g](auto x) { return f(x)(g); });
        };
    }
};

C++ nemá typy vyšších druhů, nicméně pomocí specializace šablon můžeme dosáhnout stejného efektu. Konkrétně můžeme například definovat generické monadické operace fmap a join.

template<template<typename> class M, typename T, typename U> struct Fmap {
    std::function<U(T)> f;
    auto operator()(const M<T>&) const;
};

template<template<typename> class M, typename T> struct Join {
    auto operator()(const M<M<T>>&) const;
};

template<template<typename> class M, typename T, typename U> auto Fmap<M,T,U>::operator()(const M<T>& m) const {
    std::cerr << "generic fmap" << std::endl;
    return Bind<M,T,U>{[&](auto x) { return M<U>{f(x)}; }}(m);
}

template<template<typename> class M, typename T> auto Join<M,T>::operator()(const M<M<T>>& m) const {
    std::cerr << "generic join" << std::endl;
    return Bind<M,M<T>,T>{[](M<T> x) { return x; }}(m);
}

Takto koncipovaný kód má tu výhodu, že poskytuje definice monadických funkcí bez ohledu na konkrétní typ. Proto stačí pro konkrétní monadický typ implementovat pouze buď bind, nebo fmap a join, podobně jako v čistě funkcionálních jazycích à la Haskell.

• A monad is...