Morerova věta

Morerova věta (Giacinto Morera) je matematické tvrzení z oblasti komplexní analýzy. Dává nutnou a postačující podmínku pro holomorfnost spojité funkce na souvislé otevřené množině.

Přesné znění

Nechť G je otevřená souvislá množina a f funkce spojitá na G. Pak f je holomorfní na G, právě když pro každý trojúhelník ${\displaystyle \Delta \subseteq G}$ je ${\displaystyle \oint _{\partial \Delta }f=0}$, kde ${\displaystyle \partial \Delta }$ je hranice trojúhelníku ${\displaystyle \,\Delta }$.

Důkaz

Implikace zleva doprava plyne například z Cauchyovy věty nebo z Goursatova lemmatu.

Pro implikaci zprava doleva dokazujme holomorfnost v daném bodě ${\displaystyle z_{0}\in G}$. Volme okolo ${\displaystyle z_{0}}$ kruh ${\displaystyle K\subseteq G}$. Definujme na K funkci F vztahem

${\displaystyle F(z)=\oint _{\overline {z_{0},z}}f}$, kde ${\displaystyle {\overline {z_{0},z}}(t)=z_{0}+(z-z_{0})\cdot t;\;t\in <0,1>}$ je parametrizace úsečky ${\displaystyle {\overline {z_{0},z}}.}$

F díky předpokladu ${\displaystyle \oint _{\partial \Delta }f=0}$ splňuje ${\displaystyle \,F'=f}$ na K, tedy F je na K holomorfní a díky Cauchyovu vzorci na kruhu je i f holomorfní na K, tedy speciálně v ${\displaystyle z_{0}}$.

Důsledky

Z Morerovy věty snadno plyne takzvaná Weierstrassova věta, která říká, že lokálně stejnoměrná limita holomorfních funkcí je holomorfní. Z této věty pak vyplývá holomorfnost funkcí, které lze vyjádřit jako součet řady holomorfních funkcí. Příkladem může být Riemannova zeta funkce

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}$

V kombinaci s Fubiniovou větou může Morerova věta prokázat holomorfnost funkcí, které lze vyjádřit jako integrál holomorfních funkcí - například Gamma funkce

${\displaystyle \Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}e^{-x}\,dx.}$

Související články

• Giacinto Morera
• Cauchyova věta
• Cauchyův vzorec

Reference

• Veselý, J.: Komplexní analýza, Karolinum Praha, 2000

Externí odkazy

• Morerova věta v encyklopedii MathWorld (anglicky)