Multirozklad

Jako multirozklad (multiresolution analysis, MRA) se označuje rozklad signálu ${\displaystyle f(t)\in L^{2}(\mathbb {R} )}$ do systému hierarchicky uspořádaných podprostorů ${\displaystyle \mathbf {V_{m}} }$.

Celý prostor spojitých funkcí ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ lze rozložit do vnořených podprostorů

${\displaystyle \{0\}\dots \subset \mathbf {V_{2}} \subset \mathbf {V_{1}} \subset \mathbf {V_{0}} \subset \mathbf {V_{-1}} \subset \mathbf {V_{-2}} \subset \dots L^{2}(\mathbb {R} )}$.

V souvislosti s vlnkovou transformací tvoří systém ${\displaystyle \{\phi _{j,n}\}_{n\in \mathbb {Z} }}$ bázi prostoru ${\displaystyle \mathbf {V_{j}} }$. Podstatná je existence ortogonálního doplňku

${\displaystyle \mathbf {V_{j-1}} =\mathbf {V_{j}} \oplus \mathbf {W_{j}} }$.

Zde systém ${\displaystyle \{\psi _{j,n}\}_{n\in \mathbb {Z} }}$ tvoří bázi prostoru ${\displaystyle \mathbf {W_{j}} }$. Z výše uvedených vztahů vyplývá, že ${\displaystyle \{\psi _{j,n}\}_{j,n\in \mathbb {Z} ^{2}}}$ je báze prostoru ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ a tedy

${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )=\oplus _{j=-\infty }^{+\infty }\mathbf {W_{j}} }$.

Pro lepší představu lze hierarchii popsat následovně.

${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )=\underbrace {{\underbrace {\dots \oplus \mathbf {W_{2}} } _{\mathbf {V_{1}} }}\oplus \mathbf {W_{1}} } _{\mathbf {V_{0}} }\oplus \mathbf {W_{0}} \oplus \mathbf {W_{-1}} \oplus \mathbf {W_{-2}} \oplus \dots }$

Multirozklad vyžaduje platnosti tzv. dilatačních rovnic

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (t)={\sqrt {2}}\sum _{n}h(n)\phi (2t-n)\\\psi (t)={\sqrt {2}}\sum _{n}g(n)\phi (2t-n)\end{aligned}}}$.

S jeho pomocí lze také vyjádřit vlnkové řady a diskrétní vlnkovou transformaci podle Mallatova schématu.

Literatura

• MALLAT, Stéphane. A Wavelet Tour of Signal Processing: The Sparse Way. With contributions from Gabriel Peyré. 3. vyd. [s.l.]: Academic Press, c2009 xx, 805 s. ISBN 9780123743701. (anglicky)