Násobení matic

Součin matic^[1][2] hovorově též maticové násobení (neplést se skalárním násobkem matice) je v matematice zobecnění součinu čísel na matice. Formálně se dá definovat jako binární operace na maticích odpovídajících typů. Využívá se v matematice, fyzice a jejich aplikacích, obvykle pro popis skládání lineárních zobrazení.

Speciálním případem násobení matic je součin matice typu ${\displaystyle m\times n}$ a vektoru braného jako matice o typu ${\displaystyle n\times 1}$ (sloupcový vektor). Tento součin lze interpretovat jako aplikaci lineárního zobrazení reprezentovaného transformační maticí na vektor.

Pokud je ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ matice typu ${\displaystyle m\times n}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ je matice typu ${\displaystyle n\times p}$, jejich součin ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {B}}}$ je matice typu ${\displaystyle m\times p}$ definovaná vztahem

${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {B}})_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{in}b_{nj}.}$

pro všechny prvky výsledné matice indexované ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,m\}}$ a ${\displaystyle j\in \{1,\dots ,p\}}$.

Ve většině případů jsou prvky matice čísla, ale mohou to být jakékoli druhy matematických objektů, pro které je definováno sčítání a násobení, které jsou asociativní a takové, že sčítání je komutativní a násobení je distributivní s ohledem na sčítání, typicky prvky nějakého tělesa. Prvky mohou být dokonce samotné matice (bloková matice).

U reálných matic lze prvek v ${\displaystyle i}$-tém řádku a ${\displaystyle j}$-tém sloupci výsledné matice lze také chápat jako standardní skalární součin vektoru ${\displaystyle i}$-tého řádku první matice s vektorem ${\displaystyle j}$-tého sloupce druhé matice.

Tečka ${\displaystyle \cdot }$ se v součinu vynechává a píše se pouze ${\displaystyle {\boldsymbol {AB}}}$.^[2]

Součin matic ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}\color {blue}1&\color {blue}2&\color {blue}3\\\color {orange}4&\color {orange}5&\color {orange}6\\\end{pmatrix}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}\color {red}1&\color {green}2\\\color {red}3&\color {green}4\\\color {red}5&\color {green}6\\\end{pmatrix}}}$ je

${\displaystyle {\boldsymbol {AB}}={\begin{pmatrix}({\color {blue}1}\cdot {\color {red}1}+{\color {blue}2}\cdot {\color {red}3}+{\color {blue}3}\cdot {\color {red}5})&({\color {blue}1}\cdot {\color {green}2}+{\color {blue}2}\cdot {\color {green}4}+{\color {blue}3}\cdot {\color {green}6})\\({\color {orange}4}\cdot {\color {red}1}+{\color {orange}5}\cdot {\color {red}3}+{\color {orange}6}\cdot {\color {red}5})&({\color {orange}4}\cdot {\color {green}2}+{\color {orange}5}\cdot {\color {green}4}+{\color {orange}6}\cdot {\color {green}6})\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}22&28\\49&64\end{pmatrix}}}$

Prvky matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ zůstávají v řádcích tak, jak jsou, a prvky v matici ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ se rozmístí opět do levého a pravého sloupce.

Historicky bylo násobení matic zavedeno pro usnadnění a objasnění výpočtů v lineární algebře. Tento silný vztah mezi maticovým součinem a lineární algebrou zůstává je fundamentální v celé matematice, stejně jako ve fyzice, chemii, inženýrství a informatice.

Obecný tvar soustavy lineárních rovnic je

${\displaystyle {\begin{array}{rcr}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\&\vdots &\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots +a_{mn}x_{n}&=&b_{m}\\\end{array}}}$

Při použití stejné notace jako výše je zápis soustavy ekvivalentní jednoduché maticové rovnici

${\displaystyle {\boldsymbol {Ax}}={\boldsymbol {b}}}$.

Pokud má vektorový prostor konečnou bázi, každý z jeho vektorů je jednoznačně reprezentován konečnou posloupností skalárů, nazývanou vektor souřadnic, tvořenou souřadnicemi vektoru vzhledem k bázi. Tyto vektory souřadnic tvoří další vektorový prostor, který je izomorfní původnímu vektorovému prostoru. Vektor souřadnic je běžně zapisován jako sloupcový vektor, což je matice pouze s jedním sloupcem. Sloupcový vektor pak představuje jak souřadnicový vektor, tak i vektor původního vektorového prostoru.

Lineární zobrazení ${\displaystyle A}$ prostoru dimenze ${\displaystyle n}$ do vektorového prostoru dimenze ${\displaystyle m}$ převádí sloupcový vektor

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}$

na sloupcový vektor

${\displaystyle {\boldsymbol {y}}=A({\boldsymbol {x}})={\begin{pmatrix}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}\\a_{21}x_{1}+\cdots +a_{2n}x_{n}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{pmatrix}}.}$

Lineární zobrazení ${\displaystyle A}$ je proto definováno maticí

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}},}$

a zobrazuje sloupcový vektor ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ na maticový součin

${\displaystyle {\boldsymbol {y}}={\boldsymbol {Ax}}}$.

Je-li ${\displaystyle B}$ další lineární zobrazení z předchozího vektorového prostoru dimenze ${\displaystyle m}$, do vektorového prostoru dimenze ${\displaystyle p}$, pak jej lze reprezentovat maticí ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ řádu ${\displaystyle p\times m}$. Přímý výpočet ukazuje, že matice složeného zobrazení ${\displaystyle B\circ A}$ je rovna součinu ${\displaystyle {\boldsymbol {BA}}}$. Obecný vzorec ${\displaystyle (B\circ A)({\boldsymbol {x}})=B(A({\boldsymbol {x}}))}$, který definuje složené zobrazení, je jedním z specifických případů asociativity maticového součinu:

${\displaystyle ({\boldsymbol {BA}}){\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {Ax}})={\boldsymbol {BAx}}.}$

Při použití systému kartézských souřadnic v euklidovské rovině je rotace o úhel ${\displaystyle \alpha }$ kolem počátku (počátek odpovídá nulovému vektoru) lineární zobrazení. Přesněji, $${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},}$$ kde výchozí bod ${\displaystyle (x,y)}$ i jeho obraz ${\displaystyle (x',y')}$ jsou zapsány jako sloupcové vektory.

Složení rotací o úhel ${\displaystyle \alpha }$ a pak o úhel ${\displaystyle \beta }$ odpovídá maticovému součinu $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \beta &-\sin \beta \\\sin \beta &\cos \beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \cos \alpha -\sin \beta \sin \alpha &-\cos \beta \sin \alpha -\sin \beta \cos \alpha \\\sin \beta \cos \alpha +\cos \beta \sin \alpha &-\sin \beta \sin \alpha +\cos \beta \cos \alpha \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(\alpha +\beta )&-\sin(\alpha +\beta )\\\sin(\alpha +\beta )&\cos(\alpha +\beta )\end{pmatrix}},}$$ ve druhé rovnosti jsou použity součtové vzorce. Výsledné složení odpovídá rotaci o úhel ${\displaystyle \alpha +\beta }$, jak lze očekávat.

Standardní skalární součin dvou reálných sloupcových vektorů lze zapsat maticovým součinem

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {y}},}$

kde ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{\mathsf {T}}}$ je řádkový vektor získaný pomocí transpozice ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$. (Výsledná matice ${\displaystyle 1\times 1}$ je zde ztotožněna se svým jediným prvkem.)

Obecněji lze jakoukoli bilineární formu ve vektorovém prostoru konečného rozměru vyjádřit jako maticový součin

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {Ay}},}$

a jakoukoliv seskvilineární formu lze vyjádřit jako

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{\mathsf {H}}{\boldsymbol {Ay}},}$

kde ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{\mathsf {H}}}$ je hermitovsky sdružený vektor k vektoru ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$.

Jako příklad si představme fiktivní továrnu, která používá 4 druhy surovin ${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}}$ k výrobě 3 meziproduktů, ${\displaystyle m_{1},m_{2},m_{3}}$, které se následně používají k výrobě 3 druhů výrobků, ${\displaystyle f_{1},f_{2},f_{3}}$.

Matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}1&0&1\\2&1&1\\0&1&1\\1&1&2\\\end{pmatrix}}}$   a   ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}1&2&1\\2&3&1\\4&2&2\\\end{pmatrix}}}$ udávají množství surovin potřebných pro výrobu meziproduktů, respektive množství meziproduktů potřebných pro výsledné výrobky. Například k výrobě jednoho meziproduktu ${\displaystyle m_{1}}$ je třeba jedna jednotka suroviny ${\displaystyle b_{1}}$, dvě jednotky ${\displaystyle b_{2}}$, žádné ${\displaystyle b_{3}}$ a jedna jednotka ${\displaystyle b_{4}}$, což odpovídá prvnímu sloupci matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$.

Součin ${\displaystyle {\boldsymbol {AB}}={\begin{pmatrix}5&4&3\\8&9&5\\\ 6&5&3\\11&9&6\\\end{pmatrix}}}$ pak přímo udává množství surovin potřebných pro výrobu jednotlivých výrobků. Například prvek v levém dolním rohu ${\displaystyle {\boldsymbol {AB}}}$ je vypočítán jako ${\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot 2+2\cdot 4=11}$, což odpovídá tomu, že ${\displaystyle 11}$ jednotek ${\displaystyle b_{4}}$ je potřeba k výrobě jednoho výrobku ${\displaystyle f_{1}}$. Jmenovitě jedna jednotka ${\displaystyle b_{4}}$ je třeba pro ${\displaystyle m_{1}}$, 2 pro ${\displaystyle m_{2}}$ a ${\displaystyle 4}$ pro každý ze dvou meziproduktů ${\displaystyle m_{3}}$, které jsou potřeba pro jeden kus ${\displaystyle f_{1}}$, viz obrázek.

Aby bylo možné vyrobit např. 100 výrobků ${\displaystyle f_{1}}$, 80 ${\displaystyle f_{2}}$ a 60 ${\displaystyle f_{3}}$, lze potřebné množství surovin vypočítat jako

${\displaystyle ({\boldsymbol {AB}}){\begin{pmatrix}100\\80\\60\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1000\\1820\\1180\\2180\end{pmatrix}},}$

tj. ${\displaystyle 1000}$ jednotek ${\displaystyle b_{1}}$, ${\displaystyle 1820}$ jednotek ${\displaystyle b_{2}}$, ${\displaystyle 1180}$ jednotek ${\displaystyle b_{3}}$ a ${\displaystyle 2180}$ jednotek ${\displaystyle b_{4}}$.Matice součinu ${\displaystyle {\boldsymbol {AB}}}$ může být použita k výpočtu množství surovin i pro jiné počty výrobků.^[3]

Rovnosti uvedené v následujících odstavcích platí, pokud mají výsledky operací smysl.

• Součin matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ s jednotkovou maticí ${\displaystyle \mathbf {I} }$ zprava i zleva má za výsledek matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, tj. ${\displaystyle \mathbf {I} {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}\mathbf {I} ={\boldsymbol {A}}}$.
• Maticový součin je asociativní, tedy ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {C}})=({\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}}){\boldsymbol {C}}}$.
• Maticový součin není komutativní, tedy existují příklady matic, pro něž platí ${\displaystyle {\boldsymbol {AB}}\neq {\boldsymbol {BA}}}$.
• Maticový součin je distributivní vůči sčítání, tj. ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\left({\boldsymbol {B}}+{\boldsymbol {C}}\right)={\boldsymbol {AB}}+{\boldsymbol {AC}}}$.
• Maticový součin je lineární vůči násobení skalárem (typicky reálné nebo komplexní číslo), tj. ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\left(c{\boldsymbol {B}}\right)=(c{\boldsymbol {A}}){\boldsymbol {B}}=c({\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}})}$.
• Matice vzhledem k součinu mohou být dělitelé nuly, tj. součin dvou nenulových matic může být nulová matice, například

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$.

• Součin matic ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ typu ${\displaystyle m\times n}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ typu ${\displaystyle n\times p}$ lze vyjádřit jako

${\displaystyle {\boldsymbol {AB}}={\boldsymbol {a}}_{1}{\boldsymbol {b}}_{1}^{\mathsf {T}}+{\boldsymbol {a}}_{2}{\boldsymbol {b}}_{2}^{\mathsf {T}}+\cdots +{\boldsymbol {a}}_{n}{\boldsymbol {b}}_{n}^{\mathsf {T}}}$,
kde ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{1},{\boldsymbol {a}}_{2},\dots ,{\boldsymbol {a}}_{n}}$ jsou sloupce matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {b}}_{1}^{\mathsf {T}},{\boldsymbol {b}}_{2}^{\mathsf {T}},\dots ,{\boldsymbol {b}}_{n}^{\mathsf {T}}}$ řádky matice ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$. (Neboli ${\displaystyle {\boldsymbol {b}}_{1},{\boldsymbol {b}}_{2},\dots ,{\boldsymbol {b}}_{n}}$ jsou sloupce ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}^{\mathsf {T}}}$.) Zde každý sčítanec ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{i}{\boldsymbol {b}}_{i}^{\mathsf {T}}}$ je matice typu ${\displaystyle m\times p}$, protože sloupcové vektory odpovídají maticím o jednom sloupci.

• Transpozice součinu matic je součin transponovaných matic v opačném pořadí, tj. ${\displaystyle {({\boldsymbol {AB}})}^{\mathsf {T}}={\boldsymbol {B}}^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}}$
• Inverzní matice součinu regulárních matic je součin inverzních matic v opačném pořadí, tj. ${\displaystyle {({\boldsymbol {AB}})}^{-1}={\boldsymbol {B}}^{-1}{\boldsymbol {A}}^{-1}}$
• Hermitovské sdružení (hermitovská transpozice) součinu matic je součin matic hermitovsky sdružených v opačném pořadí, tj. ${\displaystyle {({\boldsymbol {AB}})}^{\mathsf {H}}={\boldsymbol {B}}^{\mathsf {H}}{\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}}$
• Maticový součin odpovídá skládání lineárních zobrazení, které matice reprezentují.

Čtvercovou matici lze umocnit na jakoukoli nezápornou celočíselnou mocninu tím, že ji opakovaně násobíme stejným způsobem jako u běžných čísel, konkrétně

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{0}=\mathbf {I} ,}$

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{1}={\boldsymbol {A}},}$

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{k}=\underbrace {{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}\cdots {\boldsymbol {A}}} _{k{\text{ krát}}}.}$

Výpočet ${\displaystyle k}$-té mocniny matice potřebuje ${\displaystyle k-1}$ maticových součinů, pokud se provádí triviálním algoritmem (opakované násobení). Protože to může být velmi časově náročné, obecně se dává přednost použití umocňování pomocí druhé mocniny, které vyžaduje nejvýše ${\displaystyle \log _{2}k}$ maticových součinů, a je tedy mnohem efektivnější.

Snadným případem umocňování je diagonální matice. Protože součin diagonálních matic se rovná prostému vynásobení odpovídajících diagonálních prvků dohromady, získáme ${\displaystyle k}$-tou mocninu diagonální matice umocněním prvků na diagonále na ${\displaystyle k}$-tou:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&0&\cdots &0\\0&a_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}^{k}={\begin{pmatrix}a_{11}^{k}&0&\cdots &0\\0&a_{22}^{k}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{nn}^{k}\end{pmatrix}}.}$

Označme ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(R)}$ množinu čtvercových matic řádu ${\displaystyle n}$ s prvky z okruhu ${\displaystyle R}$, což je v praxi často těleso.

V ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(R)}$ je součin definován pro každou dvojici matic. Toto dělá z ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(R)}$ okruh, který má jednotkovou matici ${\displaystyle \mathbf {I} }$ za neutrální prvek.

Pokud je ${\displaystyle n>1}$, mnoho matic nemá inverzní prvek vůči násobení, např. nulová matice. Pokud inverzní prvek existuje, značí se ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}}$ a nazývá se inverzní matice k matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$. Splňuje:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{-1}={\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {A}}=\mathbf {I} .}$

Matice, která má inverzi, je regulární matice, někdy též invertibilní matice. Pokud inverzní matici nemá, nazývá se singulární matice.

Součin matic ${\displaystyle {\boldsymbol {AB}}}$ je regulární, právě když je každý z činitelů ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ regulární. V tomto případě platí

${\displaystyle ({\boldsymbol {AB}})^{-1}={\boldsymbol {B}}^{-1}{\boldsymbol {A}}^{-1}.}$

Determinant součinu čtvercových matic je součin jejich determinantů.

${\displaystyle \det({\boldsymbol {AB}})=\det({\boldsymbol {BA}})=\det {\boldsymbol {A}}\,\det {\boldsymbol {B}}}$.

Tento vztah platí kdykoli je ${\displaystyle R}$ komutativní okruh, jmenovitě i v tělesech.

Výpočetní složitost výše popsaného algoritmu je ${\displaystyle O(n^{3})}$ (počítáme ${\displaystyle n^{2}}$ čísel; pro každé potřebujeme ${\displaystyle 2n-1}$ aritmetických operací). Existují však algoritmy s nižší složitostí vhodné pro matice vyšších řádů. Nejpoužívanější z nich je Strassenův algoritmus se složitostí ${\displaystyle O(n^{\log _{2}{7}})\approx O(n^{2.807})}$. Nižší složitost u tohoto algoritmu však získáváme za cenu snížené numerické stability. Asymptoticky nejrychlejší ze známých algoritmů je Coppersmithův-Winogradův algoritmus (${\displaystyle O(n^{2.376})}$), který je však použitelný až pro matice tak velkých řádů, že je nelze zpracovávat pomocí současných počítačů^[4].

Teoreticky by se dala složitost ještě snížit, ale nikdy nemůže být menší než ${\displaystyle O(n^{2})}$, protože je třeba spočítat ${\displaystyle n^{2}}$ čísel.

Algoritmy pro násobení matic s malou výpočetní složitostí lze využít i pro hledání nejkratší cesty v grafu z každého do každého vrcholu. To má v nejjednodušší podobě složitost ${\displaystyle O(n^{3})}$. V tomto případě se však nepoužívá zde popsané násobení matic, ale upravená verze, kde je místo sčítání výběr nejmenšího prvku a místo násobení sčítání, proto nelze použít například Strassenův algoritmus, který využívá operaci odčítání jako inverzní operaci ke sčítání, která k operaci ${\displaystyle \min }$ není.

Graf lze popsat maticí vzdáleností ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$. Pokud je pro výpočty operace sčítání dvou čísel definována jako jejich minimum, a místo násobení se použije sčítání, je možno matici nejkratších cest ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ získat jako (${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{n}}$) kde ${\displaystyle n}$ je řád matice vzdáleností. Při reálném výpočtu není třeba cyklicky násobit původní maticí, ale vždy se vynásobí vzniklé výsledky - nejkratší cesty jsou získány po ${\displaystyle \log _{2}(n)}$ násobeních. Je-li použit pro násobení algoritmus se složitostí menší než ${\displaystyle O{\biggl (}{\frac {n^{3}}{\log _{2}(n)}}{\biggr )}}$, složitost hledání cest se tímto postupem sníží.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Matrix multiplication na anglické Wikipedii.

• BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
• MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

• Hadamardův součin
• Skalární součin, Vnitřní součin
• Smíšený součin
• Strassenův algoritmus
• Tenzorový součin, Vnější součin
• Vektorový součin, Dvojitý vektorový součin

• Obrázky, zvuky či videa k tématu násobení matic na Wikimedia Commons
• Lineární algebra: algebra matic Archivováno 16. 2. 2009 na Wayback Machine. Aplikace, která násobí a sčítá matice zadané uživatelem a zobrazuje postup výpočtu.