Narozeninový problém

V teorii pravděpodobnosti je narozeninový problém úloha vypočítat minimální početnost skupiny lidí, ve které je alespoň 50% pravděpodobnost nalezení dvojice se stejným datem narození (den a měsíc). Narozeninovým paradoxem je pak označována skutečnost, že tento počet (23) je mnohem menší než intuitivní odhad. Pro skupinu 57 a více lidí je tato pravděpodobnost už více než 99 %, postupně rostoucí až ke 100 % pro 366 lidí (za předpokladu že pracujeme s rokem o 365 dnech).^{[p. 1]} Matematika skrytá za tímto problémem vede k známému kryptografickému útoku zvanému narozeninový útok.

Výpočet pravděpodobnosti

Pro výpočet pravděpodobnosti, že v místnosti s n lidmi alespoň dva mají narozeniny ve stejný den, budeme předpokládat rovnoměrné rozdělení narozenin během roku (tj. budeme ignorovat přestupné roky, dvojčata atd.)

Je jednodušší nejprve spočítat pravděpodobnost p(n), že všech n narozenin je rozdílných. Pro n > 365 je tato pravděpodobnost, s ohledem na Dirichletův princip, rovna nule. Pro n ≤ 365 je dána vzorcem:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {p}}(n)&=1\cdot \left(1-{\frac {1}{365}}\right)\cdot \left(1-{\frac {2}{365}}\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{365}}\right)=\\&={365\cdot 364\cdots (365-n+1) \over 365^{n}}=\\&={365! \over 365^{n}(365-n)!}\end{aligned}}}$

Protože druhá osoba nemůže mít stejné narozeniny jako první (364/365), třetí nemůže mít stejné narozeniny jako první dvě (363/365), atd.

Skutečnost, že nejméně dva z n lidí mají stejné narozeniny je komplementární jevu, že všechna data narozenin jsou různá. Proto pravděpodobnost p(n) je

${\displaystyle p(n)=1-{\bar {p}}(n).}$

Tato pravděpodobnost překračuje 1/2 pro n = 23 (hodnota kolem 50,7 %). Následující tabulka ukazuje pravděpodobnosti pro některé další hodnoty n (Tabulka ignoruje přestupné roky, jak již bylo výše popsáno):

Tento problém může být vypočítán také jako (1 − variace (365, počet studentů) / variace s opakováním (365, počet studentů)).

Odkazy

Poznámky

Reference

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu narozeninový problém na Wikimedia Commons