Nedosažitelný kardinál

Nedosažitelný kardinál je matematický pojem z oblasti teorie množin (kardinální aritmetiky). Patří mezi velké kardinály.

Definice

Nedosažitelný kardinál je takové kardinální číslo ${\displaystyle \kappa }$, které je nespočetné, regulární a silně limitní (tj. pro každé ${\displaystyle \,\lambda <\kappa }$ je také ${\displaystyle \,2^{\lambda }<\kappa }$).

Vlastnosti

Zřejmě nedosažitelný kardinál je slabě nedosažitelný. Za předpokladu zobecněné hypotézy kontinua je kardinál nedosažitelný právě když je slabě nedosažitelný.

Nedosažitelnost

Nedosažitelný kardinál nelze zdola dosáhnout pomocí operace kardinálního následníka, pomocí sjednocení (resp. suprema) menšího počtu menších kardinálů, ani pomocí operace mohutnost potence z menšího kardinálu. Jeho nedosažitelnost je tedy ještě o něco větší než u kardinálu slabě nedosažitelného.

Vztah ke stacionárním množinám

Definujme ${\displaystyle \Gamma (\alpha )=2^{<\aleph _{\alpha }}}$ (viz funkce alef, slabá kardinální mocnina). Pak kardinál je nedosažitelný, právě když je regulární a zároveň je pevným bodem funkce ${\displaystyle \Gamma }$.

Navíc pro každý nedosažitelný kardinál ${\displaystyle \kappa }$, je množina ${\displaystyle \,\{\lambda <\kappa ;\lambda }$ je pevný bod funkce ${\displaystyle \,\Gamma \}}$ uzavřená neomezená (v ${\displaystyle \kappa }$) a tedy stacionární.

Související články

• Velké kardinály
• Slabě nedosažitelný kardinál
• Hypernedosažitelný kardinál