Nejmenší společný násobek

Nejmenší společný násobek (zkratka NSN či n, anglicky least common multiple – LCM) několika daných čísel je nejmenší kladné celé číslo, které je celočíselným násobkem všech daných čísel. Společný násobek dvou nebo několika čísel je takové číslo, které je násobkem každého z těchto daných čísel.

Příklad

Například nejmenší společný násobek čísel 15, 20 a 90 je 180.

Výpočet pomocí rozkladu

Nejmenší společný násobek dvou čísel lze nalézt tak, že každé z čísel je rozloženo na součin prvočísel (tzv. prvočíselný rozklad) a výsledný NSN je součinem největšího možného počtu všech prvočísel (resp. součin největších mocnin), která se vyskytují alespoň v jednom rozkladu.[1][2][3]

Ukázka (součin největšího možného počtu prvočísel)

  1. Zadaná čísla: 15 a 20
  2. Číslo 15 lze rozložit na součin prvočísel 3 × 5
  3. Číslo 20 lze rozložit na součin 2 × 2 × 5
  4. Nejmenší součin musí obsahovat součin: 2 × 2, 3 a 5, což je 2 × 2 × 3 × 5 = 60.

Ukázka (součin největších možných mocnin)

  1. Zadaná čísla: 36, 40
  2. 36 = 22 × 32
  3. 40 = 23 × 51
  4. Výsledek: n(36, 40) = 23 × 32 × 51 = 360

Ukázka se třemi čísly

  1. Zadaná čísla: 15, 20, 90
  2. 15 = 3 × 5
  3. 20 = 2 × 2 × 5
  4. 90 = 2 × 3 × 3 × 5
  5. Výsledek: n(15, 20, 90) = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180

Výpočet pomocí NSD

Nejmenší společný násobek (NSN) lze vypočítat pomocí největšího společného dělitele (NSD) pomocí vzorečku:[2]

Využití

NSN se používá například při sčítání zlomků o různých jmenovatelích, kdy jmenovatel výsledku je nejmenším společným násobkem jmenovatelů sčítaných zlomků, například:

Vlastnost nejmenšího společného násobku a největšího společného dělitele

Součin největšího společného dělitele a nejmenšího společného násobku dvou čísel se rovná součinu těchto dvou čísel.

Důkaz

Jestliže největší společný dělitel dvou čísel a je , potom lze číslo rozložit na součin a číslo lze rozložit na součin . Je-li skutečně největším společným dělitelem, potom je nejmenším společným násobkem. Součin je roven , což je také součin NSD a NSN.

Reference

  1. Nejmenší společný násobek. www.youtube.com [online]. Masarykova ZŠ v Plzni, 2013-10-20 [cit. 2017-02-27]. Dostupné online. 
  2. a b VOJÁČEK, Jakub. Nejmenší společný násobek. Matematika pro každého [online]. 2008-05-24 [cit. 2017-02-27]. Dostupné online. 
  3. SCHOOL ACTION. Nejmenší společný násobek. YouTube [online]. 2008-05-23 [cit. 2017-02-27]. Dostupné online. 

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Plej malgranda komuna oblo na esperantské Wikipedii.

Související články

Externí odkazy