Nerovnost aritmetického a geometrického průměru

V matematice říká nerovnost aritmetického a geometrického průměru (krátce AG nerovnost), že aritmetický průměr nezáporných čísel je vždy větší nebo roven geometrickému průměru těchto čísel. Navíc, rovnost nastává tehdy a jen tehdy, pokud jsou všechna průměrovaná čísla stejná.

Tvrzení

Formálně se nerovnost zapíše

,

nebo zkráceně

případně ekvivalentně

.

Důkaz

Pro dvě čísla elementární, ekvivalentní vztahu

,

také názorně plyne z Euklidovy věty o výšce.

Nabízí se důkaz matematickou indukcí, je však obtížný. Cauchy zde však elegantně použil techniku tzv. sestupné indukce.

Tvrzení bezprostředně plyne z Jensenovy nerovnosti a existuje i celá řada elementárnějších důkazů, např. Pólyův pomocí nerovnosti

.

AG nerovnost je rovněž ekvivalentní nerovnosti mezi geometrickým a harmonickým průměrem.

Odkazy

Související články

Externí odkazy