Nespočetná množina

Nespočetná množina je množina, kterou nelze vzájemně jednoznačně zobrazit na žádnou podmnožinu množiny přirozených čísel.

Úvodní přiblížení

Pojem nespočetná množina znamená zjednodušeně řečeno „množina, jejíž prvky nelze spočítat“, tj. očíslovat přirozenými čísly – přitom je jedno, zda použijeme konečný nebo nekonečný počet přirozených čísel.

Definice

Množina je nespočetná, když neexistuje prosté zobrazení z dané množiny na množinu přirozených čísel. Nespočetná množina má tedy více prvků než množina přirozených čísel.

Příklad první – racionální čísla jsou spočetná

Hezkým příkladem množiny, která vypadá „hodně velká“ a přitom není nespočetná (v takovém případě mluvíme o spočetné množině) , je množina racionálních čísel. Dokázat to lze tak, že si racionální čísla (zlomky ve tvaru x/y, kde x je celé, y kladné celé, a čísla x a y jsou nesoudělná) seřadím vzestupně nejprve podle součtu absolutních hodnot x a y, v případě rovnosti pak podle velikosti y, v případě rovnosti podle obou těchto kritérií podle velikosti x. Získám tím řazení racionálních čísel 0/1, -1/1, 1/1, -2/1, 2/1, -1/2, 1/2,… a tak dále a tak dále. Takovou řadu pak snadno očísluji čísly 1,2,3,…
Závěr: Množina racionálních čísel není nespočetná, i když vypadá hodně „hustá“ – v sebemenším netriviálním intervalu na číselné ose je nekonečně mnoho racionálních čísel.

Příklad druhý – reálná čísla jsou nespočetná

Ačkoliv se zdá, že racionální čísla vyplňují číselnou osu tak hustě, že už tam na jiná reálná čísla – iracionální čísla – příliš mnoho místa nezbývá, opak je pravdou – množina reálných čísel je nespočetná, je jich dokonce nespočetně mnoho v libovolném netriviálním intervalu. Důkaz tohoto překvapujícího tvrzení se provádí Cantorovou diagonální metodou a v době svého zveřejnění znamenal v teorii množin a teorii čísel převrat srovnatelný s tím, co fyzice přineslo zveřejnění teorie relativity.

Související články

• Spočetná množina
• Nekonečná množina
• Cantorova diagonální metoda
• Cantorova věta