Nevlastní integrál

Nevlastní integrál funkce

Riemannův integrál je definovaný na intervalu konečné délky, tj. na úsečce. Někdy je nutné integrovat i na polopřímce nebo na celé přímce. K tomu se používá nevlastní integrál, který je zaveden použitím limitního přechodu v integrálu na intervalu konečné délky. Pokud primitivní funkce v jedné z mezí nemá limitu, pak se Newtonův integrál definuje pomocí jednostranné limity.

Definice

Jestliže funkce je integrovatelná na každém konečném intervalu a existuje vlastní limita:

resp. ,

pak tuto limitu nazýváme konvergentním nevlastním integrálem s nekonečnými mezemi a píšeme:

resp. ,

jestliže uvedené limity neexistují, říkáme, že nevlastní integrál diverguje.

Konvergují-li integrály a , říkáme, že integrál konverguje, a píšeme:

.

Neexistuje-li alespoň jeden z integrálů a , říkáme, že integrál diverguje.

Poznámka. Stejným způsobem je možno rozšířit integrál i na neohraničené funkce, např.:

.

Literatura

  • BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. 

Související články

Externí odkazy

Média použitá na této stránce

VpCauchy 1-x^3.jpg
Autor: ThibautLienart, Licence: CC BY-SA 3.0
Illustration of the cauchy principal value of the improper integrals of 1/x^3 from -infty to +infty. The improper integrals doesn't exist but the cauchy principal value of the integral does (and equals zero).