Nevlastní integrál

Riemannův integrál je definovaný na intervalu konečné délky, tj. na úsečce. Někdy je nutné integrovat i na polopřímce nebo na celé přímce. K tomu se používá nevlastní integrál, který je zaveden použitím limitního přechodu v integrálu na intervalu konečné délky. Pokud primitivní funkce v jedné z mezí nemá limitu, pak se Newtonův integrál definuje pomocí jednostranné limity.

Definice

Jestliže funkce ${\displaystyle f}$ je integrovatelná na každém konečném intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ a existuje vlastní limita:

${\displaystyle \lim _{t\to +\infty }\int _{a}^{t}f(x)\mathrm {d} x}$ resp. ${\displaystyle \lim _{t\to -\infty }\int _{t}^{b}f(x)\mathrm {d} x}$,

pak tuto limitu nazýváme konvergentním nevlastním integrálem s nekonečnými mezemi a píšeme:

${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x}$ resp. ${\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\mathrm {d} x}$,

jestliže uvedené limity neexistují, říkáme, že nevlastní integrál diverguje.

Konvergují-li integrály ${\displaystyle \int _{-\infty }^{a}f(x)\mathrm {d} x}$ a ${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x}$, říkáme, že integrál ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x}$ konverguje, a píšeme:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{a}f(x)\mathrm {d} x+\int _{a}^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x}$.

Neexistuje-li alespoň jeden z integrálů ${\displaystyle \int _{-\infty }^{a}f(x)\mathrm {d} x}$ a ${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x}$, říkáme, že integrál ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x}$ diverguje.

Poznámka. Stejným způsobem je možno rozšířit integrál i na neohraničené funkce, např.:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\lim _{a\to 0^{+}}\int _{a}^{1}{\frac {1}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x}$.

Literatura

• BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. 

Související články

• Newtonův integrál
• Riemannův integrál
• Gaussův integrál

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Nevlastní integrál na Wikimedia Commons