Normální matice

V lineární algebře se čtvercová komplexní matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ nazývá normální matice, pokud komutuje se svou hermitovsky sdruženou maticí, tj. pokud má vlastnost:

${\displaystyle {\boldsymbol {A^{\mathrm {H} }A}}={\boldsymbol {AA^{\mathrm {H} }}}}$

Reálná matice ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ je proto normální, právě když komutuje se svou transponovanou maticí:

${\displaystyle {\boldsymbol {B^{\mathrm {T} }B}}={\boldsymbol {BB}}^{\mathrm {T} }}$

Podle spektrální věty je matice normální, právě když je unitárně diagonalizovatelná (resp. pro reálné matice ortogonálně diagonalizovatelná).

Reálná matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}}}$ je normální, protože:

${\displaystyle {\boldsymbol {A^{\mathrm {T} }A}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}}={\boldsymbol {AA^{\mathrm {T} }}}}$

Reálná matice ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}0&1\\4&0\\\end{pmatrix}}}$ není normální, protože:

${\displaystyle {\boldsymbol {B^{\mathrm {T} }B}}={\begin{pmatrix}0&4\\1&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\4&0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}16&0\\0&1\\\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}1&0\\0&16\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\4&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&4\\1&0\\\end{pmatrix}}={\boldsymbol {BB^{\mathrm {T} }}}}$

Speciálními případy reálných normálních matic jsou symetrické, antisymetrické a ortogonální matice. V komplexním oboru mezi normální matice patří hermitovské, antihermitovské a unitární matice.

Matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ normální, právě když existují unitární matice ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ a diagonální matice ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$ takové, že ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {UDU}}^{\mathrm {H} }}$. Jinými slovy, normální matice jsou unitárně diagonalizovatelné, neboli mají Schurův rozklad s diagonální maticí. Sloupce ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ tvoří ortonormální bázi složenou z vlastních vektorů ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$. Prvky na diagonále ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$ jsou vlastní čísla ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$.

Vlastní čísla reálné matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ mohou být komplexní, a tím pádem i prvky matic ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$, jak ilustruje ukázka:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}}\implies {\boldsymbol {U}}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\i&-i\\\end{pmatrix}},\quad {\boldsymbol {D}}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\\\end{pmatrix}}}$

Pouze pro speciální případ reálné symetrické matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ jsou matice ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$ také reálné.

Existují matice, které jsou diagonalizovatelné, ale nejsou normální. Tyto matice nelze unitárně diagonalizovat, neboli mají rozklad ${\displaystyle {\boldsymbol {RDR}}^{-1}}$, kde ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$ je regulární ale nikoli unitární.

Ukázkou takové matice je

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {RDR}}^{-1}={\begin{pmatrix}-1&1\\2&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2&0\\0&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-{\tfrac {1}{2}}&{\tfrac {1}{4}}\\{\tfrac {1}{2}}&{\tfrac {1}{4}}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\4&0\\\end{pmatrix}}}$

• Normální matice je unitární, právě když všechna její vlastní čísla (její spektrum) jsou komplexní jednotky.

• Normální matice je hermitovská, právě když má všechna vlastní čísla reálná.

• Součet ani součin dvou normálních matic nemusí být normální. Pro normální matice, jejichž součin komutuje, však platí následující:

Jsou-li ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ normální, přičemž ${\displaystyle {\boldsymbol {AB}}={\boldsymbol {BA}}}$, pak jsou normální i matice ${\displaystyle {\boldsymbol {AB}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}}}$. Dále existuje unitární matice ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ taková, že ${\displaystyle {\boldsymbol {UAU}}^{\mathrm {H} }}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {UBU}}^{\mathrm {H} }}$ jsou diagonální matice. Jinými slovy, ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ jsou současně diagonalizovatelné.

V tomto speciálním případě jsou sloupce ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}^{\mathrm {H} }}$ vlastními vektory ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ a tvoří ortonormální bázi v ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Jde o kombinaci tvrzení, že nad algebraicky uzavřeným tělesem jsou komutující matice současně triangularizovatelné a že normální matice jsou diagonalizovatelné. Zde je navíc možné obojí provést současně.

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Normal matrix na anglické Wikipedii a Normale Matrix na německé Wikipedii.

• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

• Diagonalizovatelná matice
• Unitární matice
• Schurův rozklad