Nutná a postačující podmínka

V logice mohou mezi dvěma souvisejícími tvrzeními (větami, výroky) existovat vztahy, pro které se používají zažitá označení nutná, resp. postačující podmínka.

• Tvrzení ${\displaystyle A}$ je nutnou podmínkou pro jiné tvrzení ${\displaystyle B}$, pokud ${\displaystyle B}$ nemůže platit, aniž by platilo ${\displaystyle A}$. Jinak řečeno, ${\displaystyle B}$ platí jen tehdy, pokud platí ${\displaystyle A}$. Věta „X je čtyřúhelník“ je nutná podmínka pro to, aby mohlo platit, že „X je čtverec“. Pokud X není čtyřúhelník, nemůže to být čtverec. (Není to však podmínka postačující, protože například lichoběžník je čtyřúhelník, ale není čtverec.) Říkáme, že ${\displaystyle B}$ implikuje ${\displaystyle A}$ a zapisujeme jako ${\displaystyle B\Rightarrow A}$, případně ${\displaystyle A\Leftarrow B}$.
• Tvrzení ${\displaystyle A}$ je postačující podmínkou pro jiné tvrzení ${\displaystyle B}$, pokud ${\displaystyle B}$ platí vždy, když platí ${\displaystyle A}$. Jinak řečeno, ${\displaystyle B}$ platí tehdy, když platí ${\displaystyle A}$. Věta „X je čtverec“ je postačující podmínka k tomu, aby platilo, že „X je čtyřúhelník“. (Není to však podmínka nutná: kosočtverec není čtverec, a přesto je čtyřúhelník.) Říkáme, že ${\displaystyle A}$ implikuje ${\displaystyle B}$ a zapisujeme jako ${\displaystyle A\Rightarrow B}$.
• Tvrzení ${\displaystyle A}$ je nutnou i postačující podmínkou pro tvrzení ${\displaystyle B}$, pokud ${\displaystyle B}$ platí tehdy a jen tehdy (právě tehdy), když platí ${\displaystyle A}$. Věta „X je čtverec“ platí tehdy a jen tehdy, pokud platí, že „X je rovnostranný pravoúhlý čtyřúhelník“. Obě tvrzení tedy platí vždy společně a jejich vztah lze obrátit. Říkáme, že ${\displaystyle A}$ je ekvivalentní ${\displaystyle B}$, případně, že ${\displaystyle A}$ implikuje ${\displaystyle B}$ a ${\displaystyle B}$ implikuje ${\displaystyle A}$ a zapisujeme ${\displaystyle A\Leftrightarrow B}$.

Příklady

Nutná podmínka

Nutnou podmínkou, aby celé číslo bylo dělitelné šesti, je, že číslo musí být sudé. V tomto případě je podmínkou, že číslo je sudé (tzn. věta ${\displaystyle A}$). Číslo je dělitelné šesti představuje větu ${\displaystyle B}$.

Avšak každé číslo dělitelné šesti je také dělitelné dvěma, tedy je sudé. Tzn. pokud je splněna věta ${\displaystyle B}$ (číslo je dělitelné šesti), je vždy splněna věta ${\displaystyle A}$ (číslo je sudé). Věta ${\displaystyle A}$ (číslo je sudé) je tedy nutnou podmínkou věty ${\displaystyle B}$ (číslo je dělitelné šesti).

Každé sudé číslo však nemusí být dělitelné číslem šest (např. číslo 4). Pokud je tedy splněna věta ${\displaystyle A}$ (číslo je sudé), nemusí být splněna věta ${\displaystyle B}$ (číslo je dělitelné šesti). Věta ${\displaystyle A}$ tedy není postačující podmínkou věty ${\displaystyle B}$.

Postačující podmínka

Postačující podmínkou, aby celé číslo bylo dělitelné šesti, může být např. podmínka, že číslo musí být dělitelné dvanácti. Číslo je dělitelné dvanácti představuje větu ${\displaystyle A}$, a číslo je dělitelné šesti větu ${\displaystyle B}$.

Každé číslo dělitelné dvanácti je také dělitelné šesti, tzn. pokud je splněna věta ${\displaystyle A}$ (číslo je dělitelné dvanácti), je splněna také věta ${\displaystyle B}$ (číslo je dělitelné šesti). Věta ${\displaystyle A}$ je tedy postačující podmínkou věty ${\displaystyle B}$.

Je-li však splněna věta ${\displaystyle B}$ (číslo je dělitelné šesti), nemusí být splněna věta ${\displaystyle A}$ (číslo je dělitelné dvanácti). Takovými čísly jsou např. 6, 18 atd. Věta ${\displaystyle A}$ tedy není nutnou podmínkou věty ${\displaystyle B}$.

Nutná a postačující podmínka

Nutnou a postačující podmínkou, aby celé číslo bylo dělitelné šesti, je, aby číslo bylo sudé a dělitelné třemi. Podmínkou (větou ${\displaystyle A}$) je zde, že číslo musí být sudé a dělitelné třemi, číslo je dělitelné šesti je věta ${\displaystyle B}$.

Je-li číslo dělitelné dvěma i třemi, pak je také dělitelné šesti. Současně platí, že číslo dělitelné šesti je dělitelné dvěma a třemi. Pokud tedy platí věta ${\displaystyle A}$ (číslo je sudé a dělitelné třemi), musí platit také věta ${\displaystyle B}$ (číslo je dělitelné šesti).

Věta ${\displaystyle A}$ je tedy postačující podmínkou věty ${\displaystyle B}$. Platí-li však věta ${\displaystyle B}$ (číslo je dělitelné šesti), pak platí také věta ${\displaystyle A}$ (číslo je sudé a dělitelné třemi).

Věta ${\displaystyle A}$ je tedy také nutnou podmínkou věty ${\displaystyle B}$. Tzn. věta ${\displaystyle A}$ je nutnou a postačující podmínkou věty ${\displaystyle B}$. Uvedenou podmínku můžeme slovně vyjádřit tak, že číslo je dělitelné šesti tehdy a pouze tehdy, je-li sudé a dělitelné třemi.

Odkazy

Související články

• Kauzalita
• Logika
• Matematická logika

Literatura

• Ottův slovník naučný, heslo Hypothesa. Sv. 11, str. 1057

Externí odkazy

• Stanford encyclopedia of philosophy, heslo Necessary and sufficient conditions (anglicky)