Odmocnina z jedné

Páté odmocniny z jedné v komplexních číslech zakresleny v komplexní rovině

Odmocnina z jedné je pojmem v matematice, kde se jím nejobecněji označuje každý prvek okruhu, který umocněn na nějaké celé číslo dává jednotkový prvek. Zvláště významný případ představují odmocniny z jedné v tělese komplexních čísel, kde se někdy označují za de Moivrova čísla a jedná se o taková čísla, jejichž nějaká celočíselná mocnina je rovna jedné.

Speciálně se n-tou odmocninou z jedné pro n z kladných přirozených čísel rozumí takový prvek a, pro který platí ${\displaystyle a^{n}=1}$. Taková odmocnina se dále nazývá primitivní n-tá odmocnina z jedné, pokud není k-tou odmocninou z jedné pro žádné ${\displaystyle k<n}$.

Vlastnosti

• Každé algebraicky uzavřené těleso má n různých n-tých odmocnin z jedné za předpokladu, že n není dělitelné jeho charakteristikou.
• Každá odmocnina z jedné je n-tou odmocninou z jedné pro nějaké n.
• Každá mocnina odmocniny z jedné je také odmocninou z jedné, neboť

  ${\displaystyle (z^{k})^{n}=z^{kn}=(z^{n})^{k}=1^{k}=1.}$

• Je-li ${\displaystyle z}$ n-tá odmocnina z jedné, pak jsou její mocniny ${\displaystyle z,z^{2},z^{3},z^{4},\dots ,z^{n-1}}$ navzájem různé. Důkaz sporem: Je-li ${\displaystyle 1=z^{a}=z^{b}}$, kde bez újmy na obecnosti ${\displaystyle 1<a<b<n}$, pak také ${\displaystyle z^{b-a}=1}$, což je ve sporu s primitivitou, neboť jsme našli menší exponent, ${\displaystyle 0<b-a<n}$, na který umocněno dává ${\displaystyle z}$ jedničku.
• Protože polynom n-tého stupně může mít nanejvýš n kořenů, jsou všechny mocniny primitivní n-té odmocniny z jedné právě všemi n-tými odmocninami z jedné.
• V komplexních číslech lze všechny n-té odmocniny z jedné vyjádřit pomocí de Moivrovy věty:

  ${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos nx+i\sin nx}$, odkud po dosazení ${\displaystyle x=2\pi /n}$ vyplývá hodnota n-té odmocniny z jedné, o které lze dokázat, že je primitivní:

  ${\displaystyle \left(\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}\right)^{n}=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1,}$, tedy všechny odmocniny z jedné lze získat jako její mocniny:

  ${\displaystyle \left(\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}\right)^{k}=\cos {\tfrac {2k\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2k\pi }{n}}\neq 1}$ pro ${\displaystyle 1<k<n}$

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu odmocnina z jedné na Wikimedia Commons