Okrajová úloha

Okrajová úloha je v matematice v oboru diferenciálních rovnic hledání takového řešení diferenciální rovnice, které vyhovuje okrajovým podmínkám (anglicky boundary conditions). Okrajové podmínky je sada dodatečných omezení, která udávají hodnotu hledané funkce v mezních bodech („okrajích“) nezávislé proměnné v rovnici.

Okrajové úlohy se objevují v mnoha odvětvích fyziky, takže se objevují v mnoha diferenciální rovnicích používaných ve fyzice. Jako okrajové úlohy se často formulují vlnové rovnice, například pro stanovení vlastních modů. Velkou třídou důležitých okrajových úloh jsou Sturmovy–Liouvilleovy problémy. Analýza těchto problémů využívá vlastních funkcí diferenciálních operátorů.

Aby bylo řešení použitelné v aplikacích, musí být okrajová úloha dobře zadaná. To znamená, že daný problém má jednoznačné řešení, které závisí spojitě na vstupu. Většina teoretických prací v oblasti parciálních diferenciálních rovnic je zasvěcena dokazování, že okrajové úlohy vznikající z vědeckých a inženýrských aplikací jsou dobře zadané.

K prvním okrajovým úlohám, které byly zkoumány, patří Dirichletův problém, hledání harmonických funkcí (které řeší Laplaceovu rovnici); řešení popisuje Dirichletův princip.

Vysvětlení

Okrajová úloha se podobá počáteční úloze: zatímco okrajová úloha má podmínky zadané v mezních bodech („okrajích“) nezávislé proměnné v rovnici, počáteční úloha má podmínky zadané v jednom určitém bodě nezávislé proměnné (který je dolní mezí definičního oboru, odtud termín „počáteční“ hodnota).

Například jestliže nezávislou proměnnou je čas v intervalu ⟨0,1⟩, jsou v okrajové úloze zadány hodnoty ${\displaystyle y(t)}$ v bodech ${\displaystyle t=0}$ a ${\displaystyle t=1}$, zatímco v počáteční úloze jsou zadány hodnoty ${\displaystyle y(t)}$ a ${\displaystyle y'(t)}$ v čase ${\displaystyle t=0}$.

Okrajovou úlohou je například hledání teploty ve všech bodech ocelového profilu, jehož jeden konec je chlazen na absolutní nulu a druhý na teplotu tuhnutí vody.

Pokud je problém závislý na prostoru i čase, můžeme zadat hodnotu problému v daném bodě v libovolném čase nebo v daném čase pro libovolné místo.

Konkrétním příkladem okrajové úlohy (s jedním prostorovým rozměrem) je řešení rovnice

${\displaystyle y''(x)+y(x)=0\,}$

jejímž řešením má být funkce ${\displaystyle y(x)}$ s okrajovými podmínkami

${\displaystyle y(0)=0,\ y(\pi /2)=2.}$

Obecné řešení této rovnice bez okrajových podmínek je

${\displaystyle y(x)=A\sin(x)+B\cos(x).\,}$

Z okrajové podmínky ${\displaystyle y(0)=0}$ dostáváme

${\displaystyle 0=A\cdot 0+B\cdot 1}$

z čehož plyne, že ${\displaystyle B=0.}$ Z okrajové podmínky ${\displaystyle y(\pi /2)=2}$ dostáváme

${\displaystyle 2=A\cdot 1}$

čili ${\displaystyle A=2.}$ Vidíme, že stanovení okrajové podmínky nám dovolilo nalézt jednoznačné řešení, kterým je v tomto případě

${\displaystyle y(x)=2\sin(x).\,}$

Typy okrajových úloh

Okrajové podmínky

Okrajová podmínka, která určuje hodnotu neznámé funkce je Dirichletova okrajová podmínka neboli okrajová podmínka prvního typu. Pokud například jeden konec ocelového profilu je chlazen na absolutní nulu, pak hodnota problému musí být známa v tomto bodě prostoru.

Okrajová podmínka, která určuje hodnotu normálové derivace funkce je Neumannova okrajová podmínka neboli okrajová podmínka druhého typu. Pokud je například jeden konec ocelového profilu zahříván, pak by energie vzrůstala konstantní rychlostí, ale skutečná teplota by nebyla známá.

Pokud má hranice tvar křivky nebo povrchu, který určuje hodnota do normálové derivace a samotné proměnné, pak se jedná o Cauchyho okrajová podmínka.

Příklady

Souhrn okrajových podmínek pro neznámou funkci, ${\displaystyle y}$, konstanty ${\displaystyle c_{0}}$ a ${\displaystyle c_{1}}$ zadané okrajovými podmínkami a známé skalární funkce ${\displaystyle f}$ zadané okrajovými podmínkami.

Diferenciální operátory

Okrajové úlohy lze vedle okrajových podmínek klasifikovat také podle typu použitého diferenciálního operátoru. Pro eliptický operátor mluvíme o eliptických okrajových úlohách. Pro hyperbolický operátor mluvíme o hyperbolických okrajových úlohách. Obě kategorie lze dále rozdělit na lineární a různé nelineární typy.

Aplikace

Elektromagnetický potenciál

Častou úlohou v elektrostatice je hledání funkce, která popisuje elektrický potenciál dané oblasti. Pokud oblast neobsahuje náboj, musí být potenciál řešením Laplaceovy rovnice (tak zvaná harmonická funkce). Okrajové podmínky v tomto případě jsou Podmínky rozhraní pro elektromagnetické pole. Pokud v oblasti není žádná proudová hustota, je možné podobným způsobem definovat magnetický skalární potenciál.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Boundary value problem na anglické Wikipedii.

• A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2.
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9.

Související články

Externí odkazy

• Boundary value problems in potential theory [online]. Příprava vydání Michiel Hazewinkel. 2001. Dostupné online. ISBN 978-1-55608-010-4. ^{[nedostupný zdroj]}
• Boundary value problem, complex-variable methods [online]. Příprava vydání Michiel Hazewinkel. 2001. Dostupné online. ISBN 978-1-55608-010-4. ^{[nedostupný zdroj]}
• Linear Partial Differential Equations: Exact Solutions and Boundary Value Problems na EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Boundary value problem [online]. Scholarpedia. Dostupné online.