Optimalizace (matematika)

Matematická úloha optimalizace je snahou o nalezení takových hodnot proměnných, pro které daná cílová či účelová funkce nabývá minimální nebo maximální hodnoty. Mnoho teoretických úloh i úloh z reálného světa vede na řešení úlohy optimalizace. Často se vyskytuje při modelování fyzikálních jevů, kde cílová funkce ${\displaystyle f}$ má význam energie fyzikálního systému, která má v rovnovážném stavu systému být minimální.

Optimalizace představuje teoretický základ pro operační výzkum.

Definice

Je-li cílová funkce ${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$, pak v úloze minimalizace hledáme takové ${\displaystyle x_{0}\in A}$, že ${\displaystyle f(x_{0})\leq f(x)}$ pro všechna ${\displaystyle x\in A}$. V úloze maximalizace naopak hledáme takové ${\displaystyle x_{0}\in A}$, že ${\displaystyle f(x_{0})\geq f(x)}$ pro všechna ${\displaystyle x\in A}$. Množina ${\displaystyle A}$ se nazývá přípustnou množinou.

Přípustná množina často bývá podmnožinou eukleidovského prostoru ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, vydělenou omezujícími podmínkami ve formě rovností či nerovností.

Nalezený prvek ${\displaystyle x_{0}}$ je nazýván optimálním řešením. Pro obecnou úlohu optimalizace nemusí být jednoznačný.

Matematické programování

Úloha optimalizace je někdy nazývána též úlohou matematického programování (tento termín nemá přímý vztah k programování):

• lineární programování
• nelineární programování
• celočíselné programování
• parametrické programování
• konvexní programování
• kvadratické programování
• dynamické programování
• vícekriteriální programování

Dále existují:

• stochastické programování
• infinitní programování
• semi-infinitní programování
• semi-definitní programování

Algoritmy matematického programování:

• Simplexový algoritmus
• Metoda větví a mezí
• Gradientní sestup
• Gradientní algoritmus
• Algoritmus zpětného šíření chyby

Optimalizační úlohu někdy pomáhají řešit tzv. podmínky optimality.

Literatura

• Miroslav Maňas: Optimalizační metody, Státní nakladatelství technické literatury, Praha 1979, 1. vydání.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu optimalizace na Wikimedia Commons
• http://www.uai.fme.vutbr.cz/~jdvorak/vyuka/tsoa/tsoa.htm Archivováno 31. 5. 2009 na Wayback Machine.
• https://web.archive.org/web/20090131041525/http://home.eunet.cz/berka/o/