Ortogonální souřadnice

Ortogonální souřadnice (ortogonální soustava souřadnic, též pravoúhlá soustava souřadnic nebo pravoúhlé souřadnice) představují v matematice takový systém souřadnic, v němž jsou v každém bodě souřadné osy navzájem kolmé.

Označení pochází z latiny, kde othos znamená pravý a přípona -gonální znamená -úhlý.

Ortogonální souřadnice lze definovat jako množinu souřadnic ${\displaystyle \mathbf {q} }$, jejichž metrický tenzor má pouze diagonální členy, tzn. infinitezimální čtverec vzdálenosti ${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}}$ může být zapsán jako součet čtverců infinitezimálních souřadnicových vzdáleností, tzn.

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\sum _{k=1}^{D}\left(h_{k}\mathrm {d} q_{k}\right)^{2}}$,

kde ${\displaystyle D}$ je dimenze prostoru a funkce ${\displaystyle h_{k}(\mathbf {q} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {g_{kk}(\mathbf {q} )}}}$ (tzv. Laméovy koeficienty) jsou určeny diagonálními prvky metrického tenzoru ${\displaystyle g_{ik}(\mathbf {q} )}$.

Vektory a integrály

Ze vztahu pro vzdálenost lze určit infinitezimální změnu ve směru souřadnice ${\displaystyle \mathrm {d} q_{m}}$ jako ${\displaystyle \mathrm {d} s_{m}=h_{k}\mathrm {d} q_{k}}$. Odtud lze získat diferenciál polohového vektoru ${\displaystyle \mathbf {r} }$ jako

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\sum _{k=1}^{D}h_{k}\mathrm {d} q_{k}\mathbf {e} _{k}}$,

kde ${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$ jsou jednotkové vektory kolmé (tedy normálové vektory) k plochám konstantních souřadnic ${\displaystyle q_{k}}$. Tyto jednotkové vektory jsou tečné k souřadnicovým čarám a tvoří souřadnicové osy lokálního kartézského systému souřadnic.

Vztahy pro skalární a vektorový součin mají v ortogonálním souřadném systému obvyklý tvar, tzn.

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\sum _{k=1}^{D}A_{k}B_{k}}$

Tedy např. integrál po křivce ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ má v ortogonálních souřadnicích tvar

${\displaystyle \int _{\mathcal {C}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\sum _{k=1}^{D}\int _{\mathcal {C}}F_{k}h_{k}\mathrm {d} q_{k}}$,

kde ${\displaystyle F_{k}}$ je složka vektoru ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ve směru ${\displaystyle k}$-tého jednotkového vektoru ${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$

${\displaystyle F_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {e} _{k}\cdot \mathbf {F} }$

Podobně lze pro infinitezimální element obsahu psát ${\displaystyle \mathrm {d} P=\mathrm {d} s_{i}\mathrm {d} s_{j}=h_{i}h_{j}\mathrm {d} q_{i}\mathrm {d} q_{j}}$, kde ${\displaystyle i\neq j}$, a pro infinitezimální element objemu ${\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} s_{i}\mathrm {d} s_{j}\mathrm {d} s_{k}=h\mathrm {d} q_{i}\mathrm {d} q_{j}\mathrm {d} q_{k}}$, kde ${\displaystyle h\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ h_{i}h_{j}h_{k}}$ a ${\displaystyle i\neq j\neq k}$. Např. integrál přes plochu ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ve třírozměrných ortogonálních souřadnicích má tvar

${\displaystyle \int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{\mathcal {S}}F_{1}h_{2}h_{3}\mathrm {d} q_{2}\mathrm {d} q_{3}+\int _{\mathcal {S}}F_{2}h_{3}h_{1}\mathrm {d} q_{3}\mathrm {d} q_{1}+\int _{\mathcal {S}}F_{3}h_{1}h_{2}\mathrm {d} q_{1}\mathrm {d} q_{2}}$

Diferenciální operátory ve třech rozměrech

Gradient lze vyjádřit jako

${\displaystyle \nabla \Phi ={\frac {\mathbf {e} _{1}}{h_{1}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{1}}}+{\frac {\mathbf {e} _{2}}{h_{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{2}}}+{\frac {\mathbf {e} _{3}}{h_{3}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{3}}}}$

Laplaceův operátor má tvar

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left({\frac {h_{3}h_{1}}{h_{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{3}}}\right)\right]}$

Operátor divergence se zapíše jako

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left(F_{1}h_{2}h_{3}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left(F_{2}h_{3}h_{1}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left(F_{3}h_{1}h_{2}\right)\right]}$

kde ${\displaystyle F_{k}}$ je ${\displaystyle k}$-tá složka vektoru ${\displaystyle \mathbf {F} }$.

Podobně lze operátor rotace vyjádřit ve tvaru

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\frac {\mathbf {e} _{1}}{h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left(h_{3}F_{3}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left(h_{2}F_{2}\right)\right]+{\frac {\mathbf {e} _{2}}{h_{3}h_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left(h_{1}F_{1}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left(h_{3}F_{3}\right)\right]+{\frac {\mathbf {e} _{3}}{h_{1}h_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left(h_{2}F_{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left(h_{1}F_{1}\right)\right]}$

Příklady

Dvourozměrné ortogonální soustavy souřadnic

• Kartézská soustava souřadnic (dvourozměrná)
• Polární soustava souřadnic
• Eliptická soustava souřadnic
• Parabolická soustava souřadnic (dvourozměrná)
• Bipolární soustava souřadnic

Třírozměrné ortogonální soustavy souřadnic

• Kartézská soustava souřadnic (třírozměrná)
• Sférická soustava souřadnic
• Válcová soustava souřadnic
• Eliptická válcová soustava souřadnic

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Ortogonální souřadnice na Wikimedia Commons
• Článek o ortogonálních souřadnicích na MathWorld (anglicky)