Ortonormální báze

Ortonormální báze unitárního prostoru je pojem z lineární algebry a funkcionální analýzy, označující takovou bázi prostoru, jež je ortogonální a jejíž prvky jsou navíc normované, tedy vzájemně různé prvky báze jsou na sebe kolmé a všechny prvky báze jsou jednotkové.

Tento pojem je důležitý pro konečně i nekonečně rozměrné prostory a obzvláště pak pro Hilbertovy prostory.

Prostor konečné dimenze

Nechť je konečně rozměrný vektorový prostor se skalárním součinem indukující normu . Pod ortonormální bází prostoru pak rozumíme bázi :

  • pro ,
  • pro , kde .

Například následující báze (tzv. kanonická) je ortonormální bází vektorového prostoru :

neboť každý z těchto vektorů má jednotkovou délku a všechny vzájemně různé vektory jsou na sebe kolmé, protože jejich skalární součin je roven nule.

Základním algoritmem pro získání ortonormální báze z libovolné báze je Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces.

Obecný případ

V obecném případě unitárního prostoru nekonečné dimenze, nazýváme ortonormálním systémem ve takový systém, jehož lineární obal leží hustě ve .

Úplný ortonormální systém má proto tu vlastnost, že pro každý prvek můžeme psát Fourierův rozvoj:

.

Je důležité zdůraznit, že ve smyslu tohoto odstavce, v protikladu k případu s konečnou dimenzí, není ortonormální báze žádnou bází v běžném smyslu lineární algebry. To znamená, že prvek nelze obecně zapsat jako lineární kombinaci konečného počtu bázových vektorů (prvků z ), ale jen jako sumu počitatelného nekonečného počtu prvků z , tedy jako nekonečnou řadu. Jinými slovy: Lineární obal není roven prostoru , leží ale hustě v tomto prostoru.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Ortonormálna báza na slovenské Wikipedii.