Přímka

Přímka je jednorozměrný základní geometrický útvar.

Lze ji popsat jako nekonečně tenkou, dvoustranně nekonečně dlouhou, dokonale rovnou křivku (pojem křivka v matematice zahrnuje i „rovné křivky“), tedy křivku s nekonečně velkým poloměrem zakřivení. V euklidovské geometrii pro každé dva body existuje právě jedna přímka, která oběma prochází. Tato přímka obsahuje nejkratší spojnici mezi dotyčnými body, úsečku z jednoho bodu do druhého.

Z fyzikálního hlediska je přímka trajektorie fotonu neovlivněného gravitací.

Speciální případ přímky je osa.

Znázornění a značení

Přímka se znázorňuje rovnou čarou, označuje se malým písmenem, např. . Přímka procházející dvěma body bývá také značena .

Znázornění:

Primka.png

Algebraický zápis

Přímku v rovině lze algebraicky popsat pomocí lineárních rovnic nebo lineárních funkcí.

Tento intuitivní koncept přímky lze formalizovat několika způsoby. Jestliže je geometrie postavena axiomaticky (jako v Eukleidových Základech a později ve Foundations of Geometry Davida Hilberta), potom přímky nejsou vůbec definovány, nýbrž axiomaticky charakterizovány svými vlastnostmi. „Vše, co splňuje axiomy pro přímku, je přímka.“ Zatímco Eukleidés definoval přímku jako „délku bez šířky“, ve svých pozdějších vývodech tuto mlhavou definici nepoužíval.

eukleidovském prostoru Rn (a analogicky ve všech ostatních vektorových prostorech) definujeme přímku L jako podmnožinu ve tvaru

kde a a b jsou vektoryRn a b je nenulové. Vektor b udává směr přímky a a je bod na přímce. Tutéž přímku lze definovat pomocí různých kombinací a a b.

Rovinná přímka

R2 je každá přímka L popsaná lineární rovnicí, která může být zadána v různých tvarech.

Směrnicová rovnice přímky

Ke směrnicové rovnici přímky.

Směrnicová rovnice přímky má tvar

,

kde je tzv. směrnice přímky, přičemž je orientovaný úhel s vrcholem v průsečíku přímky a první souřadnicové osy, jehož rameny jsou (kladně orientovaná) první osa souřadnicové soustavy a přímka, a je tzv. úsek (vytnutý přímkou) na ose , což je druhá souřadnice průsečíku přímky s osou .

Pro představuje rovnice přímky rostoucí funkci, pro jde o funkci klesající. Pro je přímka rovnoběžná s osou . Je-li , pak přímka prochází počátkem .

Přímku rovnoběžnou s osou nelze směrnicovou rovnicí vyjádřit.

Úseková rovnice přímky

K úsekové rovnici přímky.

Úseková rovnice přímky má tvar

,

kde je úsek (vytnutý přímkou) na ose a je úsek (vytnutý přímkou) na ose .

Přímku rovnoběžnou s osou nebo nelze úsekovou rovnicí vyjádřit.

Normálová rovnice přímky

K normálové rovnici přímky.

Normálovou rovnici přímky lze zapsat ve tvaru

,

kde představuje vzdálenost počátku soustavy souřadnic od přímky a je velikost orientovaného úhlu, jehož rameno je první kladná poloosa souřadné soustavy a druhé rameno je polopřímka s počátkem v vedená kolmo k přímce.

Členy a představují složky jednotkového vektoru kolmého k přímce.

Obecná rovnice přímky

Obecná rovnice přímky v rovině je speciálním případem obecné rovnice nadroviny a má tvar

,

kde jsou konstanty, přičemž nebo .

Pro je přímka rovnoběžná s osou , pro je přímka rovnoběžná s osou . Pro prochází přímka počátkem.

Porovnáním obecné a normálové rovnice lze určit význam konstant . Konstanty určují vektor , který je kolmý k přímce. Parametr pak souvisí se vzdáleností přímky od počátku souřadné soustavy.

Obecnou rovnici přímky lze převést na rovnici směrnicovou, pokud zavedeme , pro . Zavedeme-li , pro , pak můžeme obecnou rovnici převést na úsekový tvar. Převedením obecné rovnice přímky do normálového tvaru získáme normálovou rovnici přímky ve tvaru

Důležité vlastnosti takto definovaných přímek jsou jejich sklon, průsečík s osou x a průsečík s osou y. Excentricita přímky je nekonečno.

Parametrické vyjádření přímky

Parametrické vyjádření přímky je definováno vztahem: a v rovině je tedy dáno rovnicemi

kde je libovolný bod přímky, jsou konstanty určující směrnici přímky, tedy vektor je směrovým vektorem přímky a je proměnný parametr. Alespoň jedna z konstant musí být nenulová.

Vektorová rovnice přímky

Vektorová rovnice přímky má tvar

kde je rádiusvektor procházející všemi body přímky, je rádiusvektor jednoho z bodů přímky, je vektor určující směr přímky a je proměnný parametr.

Vektorový zápis tedy představuje přehlednější zápis parametrického tvaru rovnice přímky.

Polární rovnice přímky

V polárních souřadnicích lze přímku vyjádřit jako

,

kde je vzdálenost přímky od počátku a je velikost orientovaného úhlu s vrcholem v počátku, jehož první rameno tvoří polární osa a druhé rameno polopřímka kolmá k přímce s počátkem v O.

Rovnice přímky určené bodem

Rovnice přímky se směrnicí procházející bodem je

Rovnice přímky procházející dvěma danými body a , kde , má tvar

neboli

Předchozí rovnice bývá také vyjadřována ve formě determinantu

Tuto rovnici lze využít jako podmínku k určení, zda tři body leží na jedné přímce. Tyto body leží na jedné přímce, je-li splněna podmínka

Prostorová přímka

Přímkou v prostoru se nazývá množina bodů prostoru, které vyhovují rovnici přímky. Rovnici přímky v prostoru lze vyjádřit různými způsoby.

Obecná rovnice přímky

R3 lze přímku L definovat jako průsečík dvou rovin, pomocí soustavy jejich lineárních rovnic:

(definici je nutné rozšířit o podmínky pro koeficienty , které zaručí, že roviny budou různoběžné).

Přímka v prostoru je tedy řešením soustavy rovnic

Ve speciálním případě vyjádříme přímku jako průsečík dvou rovin, z nichž každá je kolmá k některé souřadnicové rovině, např. pro roviny kolmé k a dostaneme

Parametrické rovnice přímky

Parametrické rovnice přímky v prostoru mají tvar

kde je libovolný bod, kterým přímka prochází, jsou konstanty určující směrnici přímky a je parametr.

Konstanty mohou být vyjádřeny prostřednictvím směrových úhlů jako

Směrové úhly přitom splňují podmínku

Rovnice přímky určené bodem

Rovnici přímky procházející body lze zapsat jako

Rovnici přímky procházející bodem se směrovými úhly lze zapsat jako

Pokud místo směrových úhlů určíme směrnici přímky parametry , pak lze předchozí vztah přepsat jako

Přímka ve vícerozměrném prostoru

Přímku lze zavést také v n-rozměrném prostoru.

Parametrické vyjádření

Přímku v Rn lze také vyjádřit parametricky: přímka procházející bodem se směrovým vektorem je množina bodů , pro které existuje skalár k takový, že

Vektorový tvar

Místo předchozího parametrického vyjádření lze použít vektorový zápis

Vzájemná poloha bodu a přímky

Související informace naleznete také v článku Vzájemná poloha bodu a přímky.

Tři nebo více bodů, které leží na téže přímce, se nazývají kolineární.

Leží-li tři (různé) body na jedné přímce, pak vždy leží právě jeden z nich mezi ostatními dvěma. Leží-li bod mezi body a , pak bod označíme jako vnitřní bod úsečky .

Bod ležící na přímce ji dělí na dvě polopřímky. Je-li bod vnitřním bodem jedné z polopřímek, pak pro tuto polopřímku užíváme značení . Opačnou polopřímku k polopřímce značíme .

Vzájemná poloha přímek

Související informace naleznete také v článku Vzájemná poloha dvou přímek.

Dvě různé přímky ležící v téže rovině mohou být buď rovnoběžné a nemít žádný společný bod (v eukleidovském prostoru se protínají v nekonečnu), nebo různoběžné a protnout se v právě jednom bodě, průsečíku. Dvě roviny se protínají v nejvýše v jedné přímce, průsečnici. Ve vícerozměrných prostorech ale nemusí ani být rovnoběžné, ani se protínat, a říká se jim mimoběžky.

Pokud jsou si obě přímky rovny, pak říkáme, že jde o přímky splývající (totožné).

Přímku různoběžnou s rovnoběžkami označujeme jako příčku rovnoběžek .

Průnik dvou polopřímek a se nazývá úsečkou a značí .

Některé důležité přímky

  • asymptota – přímka, ke které se limitně blíží daná křivka, zejména graf funkce, pro nezávisle proměnnou rostoucí nade všechny meze,
  • číselná osa – přímka s reálnými čísly přiřazenými každému jejímu bodu, užívaná např. jako souřadná osa,
  • osa rotace – přímka, kolem níž rotuje (otáčí se) dané těleso nebo vůči které provádíme matematické otáčení tělesa,
  • osa symetrie – přímka, ke které lze zrcadlově obrátit geometrický útvar a dostat tak útvar totožný,
Eulerova přímka (červená) a osy stran (symetrály, zelené), těžnice (oranžové) a výšky (modré) v trojúhelníku
  • Eulerova přímka,
  • Simsonova přímka,
  • tečna – přímka dotýkající se křivky nebo plochy, prochází průběžným bodem (bodem dotyku) křivky (plochy) jednostranně, neprotíná ji v něm,
  • normála – kolmice k tečně v bodě dotyku křivky, laicky „kolmice ke křivce“,
  • kolmice – přímka pravoúhle skloněná k dané přímce nebo rovině,
  • těžnice – přímka procházející vrcholem trojúhelníku a středem protilehlé strany, půlící jeho plochu.

Odkazy

Literatura

  • Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, ISBN 978-80-7358-083-4, str. 8-9
  • Šárka Voráčová a kolektiv: Atlas geometrie – Geometrie krásná a užitečná, Academia, Praha 2012, ISBN 978-80-200-1575-4, str. 12

Související články

  • Základní geometrické útvary
  • Lineární geometrické útvary
  • Vzájemná poloha přímky a kružnice
  • Výpočet průsečíku křivek

Externí odkazy

Média použitá na této stránce

Primka rovnice usekova.svg
Obrázek k úsekové rovnici přímky.
Primka rovnice smernicova.svg
Obrázek ke směrnicové rovnici přímky.
Euler line.svg
Autor: No machine-readable author provided. 4C~commonswiki assumed (based on copyright claims)., Licence: CC-BY-SA-3.0
Illustration of Euler's line in a triangle
Primka rovnice normalova.svg
Obrázek k normálové rovnici příky.
Primka.png
Autor: Vojtěch Káně, Licence: CC0
Jednorozměrný rovinný geometrický útvar