Přirozené číslo

Přirozeným číslem (číslem z oboru přirozených čísel) se v matematice rozumí čísla, které je možné použít pro vyjádření počtu („Na stole je šest mincí“) nebo pořadí („Toto je třetí největší město“). Čísla používaná pro vyjádření počtu se v matematice označují jako kardinální čísla, zatímco čísla určená pro vyjádření pořadí se nazývají ordinální čísla. Přirozená čísla patří mezi základní matematické koncepty, a protože se považují za nejjednodušší na pochopení, začíná výuka matematiky obvykle od přirozených čísel. Množina všech přirozených čísel se obvykle označuje písmenem .

Podle některých z používaných definic (např. standard ISO 80000-2) přirozená čísla začínají číslem a označují tak nezáporná čísla (tj. čísla )[1], zatímco podle jiných definic přirozená čísla začínají číslem [2] a označují tak čísla ..[3]

Značení

Množina přirozených čísel se označuje velkým písmenem N (nebo zdvojeným písmenem ).

Protože někteří autoři touto značkou označují kladná celá čísla a jiní nezáporná celá čísla, používají se také značení, která tuto nejednoznačnost vylučují:

  • pro nezáporná celá čísla (včetně nuly):
    • N0, resp. , případně N0, resp. , nebo
    • Z+0, resp. ;
  • pro kladná celá čísla (bez nuly):
    • N+, resp. , nebo
    • Z+, resp. .

Formální definice

Exaktní matematické definice množiny přirozených čísel jsou založeny na následujících axiomech (tzv. Peanova aritmetika):

  • Existuje číslo 0.
  • Každé přirozené číslo a má následníka, označeného jako S(a).
  • Neexistuje přirozené číslo, jehož následníkem by byla 0.
  • Různá přirozená čísla mají různé následníky: pokud ab, pak S(a)S(b).
  • Pokud nějakou vlastnost splňuje jak číslo 0, tak i každé číslo, které je následníkem nějakého čísla, které tuto vlastnost splňuje, pak tuto vlastnost splňují všechna přirozená čísla. (Tento axiom zajišťuje platnost důkazů technikou matematické indukce.)

(Poznámka: Číslo 0 v těchto postulátech nemusí odpovídat běžnému výkladu přirozeného čísla nula. 0 v této formální definici znamená pouze nějaký objekt, který spolu s funkcí následnosti splňuje Peanovy axiomy.)

Konstrukce

Nejběžnější konstrukcí přirozených čísel v axiomatické teorii množin je následující postup:

  • Definuje se 0 = {}.
  • Definuje se S(a) = a {a} pro všechna a.
  • Množina přirozených čísel se pak definuje jako průnik všech množin obsahujících 0 a uzavřených vůči funkci následnosti.

Pomocí axiomu nekonečna lze dokázat, že tato definice splňuje Peanovy axiomy.

V této definici je každé přirozené číslo množinou čísel menších než ono, tedy:

…atd.

Tato definice souhlasí s intuitivním pojetím, že každé přirozené číslo n vyjadřuje mohutnost množiny o právě n prvcích.

Vlastnosti

  • Množina přirozených čísel je nekonečná (existuje nekonečně mnoho přirozených čísel), avšak spočetná (podle definice).
  • Na přirozených číslech lze definovat operaci sčítání takto: a + 0 = a, a + S(b) = S(a + b) pro všechna a, b. Tím se stane (N, +) komutativním monoidemneutrálním prvkem 0. Pokud definujeme S(0) = 1, je S(a) = S(a + 0) = a + S(0) = a + 1, tedy následníkem čísla a je číslo a + 1. Tento monoid je možné vnořit do grupy; nejmenší grupou obsahující přirozená čísla jsou celá čísla.
  • Obdobně lze s využitím operace sčítání definovat operaci násobení takto: a * 0 = 0, a * (b + 1) = (a * b) + a. Tím se stane (N, *) komutativním monoidem s neutrálním prvkem 1. Sčítání a násobení splňují distributivní zákon: a * (b + c) = (a * b) + (a * c). (N, +, *) je tedy komutativním polookruhem.
  • Na přirozených číslech lze definovat úplné uspořádání, kdy ab právě tehdy, když existuje přirozené číslo c tak, že a + c = b. Přirozená čísla jsou dobře uspořádaná, takže každá neprázdná množina přirozených čísel má nejmenší prvek.
  • Na přirozených číslech neexistuje operace dělení, neboť podíl dvou přirozených čísel obecně nemusí být přirozené číslo. Alternativou je tady dělení se zbytkem: pro libovolná dvě přirozená čísla a, b, kde b ≠ 0, můžeme najít taková přirozená čísla r a q, že platí a = bq + r a zároveň r < b. Číslu r pak říkáme zbytek po dělení čísla a číslem b, číslo q je celočíselný podíl a a b. Tato operace je základem mnoha vlastností (dělitelnost), postupů (Euklidův algoritmus) a idejí v teorii čísel. Na existenci a vlastnostech zbytků po dělení v přirozených číslech je založena jedna část kryptografie.

Reference

  1. MAC LANE, Saunders. Algebra. [s.l.]: Chelsea Pub. Co Dostupné online. ISBN 9780821816462. OCLC 18102563 Kapitola The Natural Numbers, s. 15. 
  2. CAROTHERS, N. L. Real analysis. Cambridge [UK]: Cambridge University Press 1 online resource (xiii, 401 pages) s. Dostupné online. ISBN 978-1-139-64871-4, ISBN 1-139-64871-3. OCLC 855534519 S. 3. 
  3. Prvňáci a matematika VII. Číslo 0. clanky.rvp.cz [online]. [cit. 2018-11-20]. Dostupné online. (česky) 

Související články

Externí odkazy