Pětiúhelník

Pravidelný pětiúhelník
Základní informace
Obsah	${\displaystyle S={\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{4}}a^{2}}$
Poloměr kružnice opsané	${\displaystyle r={\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{10}}a}$
Poloměr kružnice vepsané	${\displaystyle \rho ={\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{10}}a}$
Úhel u vrcholu	108°
Délka nejdelší úhlopříčky	${\displaystyle l_{u}={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}a}$ (zlatý řez)

Pětiúhelník (pentagon) je rovinný obrazec, mnohoúhelník s pěti vrcholy a pěti stranami. Součet velikostí vnitřních úhlů pětiúhelníku je přesně 540° (3π).

Pravidelný pětiúhelník je v podstatě složen z pěti shodných rovnoramenných trojúhelníků, jejichž úhly při základně mají velikost ${\displaystyle {\frac {3\pi }{10}}}$ a při vrcholu ${\displaystyle {\frac {2\pi }{5}}}$.

Vlastnosti

K zajímavým vlastnostem pravidelného pětiúhelníku patří jeho vztah ke zlatému řezu:

• poměr délek úhlopříčky a strany je roven zlatému řezu
• jedna úhlopříčka protíná druhou tak, že délky vzniklých částí jsou opět v poměru zlatého řezu

Úhlopříčky pravidelného pětiúhelníku uvnitř něho vymezují oblast, která má rovněž tvar pravidelného pětiúhelníku. Vnitřní a vnější pětiúhelník mají stejný střed (geometrie), jsou opačně orientovány a délky jejich stran jsou v poměru

${\displaystyle 1:(1-{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}})=1:{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}$.

Obsah S pravidelného pětiúhelníku o délce strany a je:

${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{4}}\cdot a^{2}={\frac {\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}{4}}\cdot a^{2}={\frac {5a^{2}\tan 54^{\circ }}{4}}\approx 1.720~a^{2}\end{aligned}}}$

Historie

Pravidelný pětiúhelník hrál významnou úlohu v mystice a symbolice pythagorejců. Od pravidelného pětiúhelníku je také odvozen symbol pentagramu, využívaný v pythagorejské sektě jako poznávací znamení. Jedním z důvodů, proč byl pravidelný pětiúhelník takto uctíván, bylo zřejmě to, že se v něm hned na několika místech ukazuje nejdokonalejší ze všech poměrů - poměr zlatého řezu.

Konstrukce

Pentagon je jední z mála pravidelných mnohoúhelníků (s lichým počtem stran), který lze sestrojit euklidovsky, tzn. jen kružítkem a pravítkem.

Konstrukce pravidelného pětiúhelníku byla známa již ve starověkém Řecku.

Pětiúhelník v soustavě souřadnic

Zapíšeme-li pravidelný pětiúhelník do souřadnicové soustavy, kladouce střed kružnice opsané do bodu ${\displaystyle S}$ [${\displaystyle x_{0}}$; ${\displaystyle y_{0}}$], obdržíme při poloměru kružnice opsané ${\displaystyle k}$ a natočení vrcholu nejbližšího ose ${\displaystyle x}$ v jejím kladném směru o úhel ${\displaystyle \omega }$ oproti této ose následující souřadnice vrcholů:

Body vnitřního pětiúhelníku mají následující souřadnice:

Související články

• Penroseovo dláždění

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu pětiúhelník na Wikimedia Commons
• Slovníkové heslo pětiúhelník ve Wikislovníku
• Encyklopedické heslo Pětiúhelník v Ottově slovníku naučném ve Wikizdrojích
• Nová pětiúhelníková dlaždice unikala vědcům více než stovku let