Předsvazek abelovských grup

Předsvazek abelovských grup je pojem z matematiky, přesněji z algebraické topologie. Používá se však i v teoretické a matematické teoretické fyzice, algebraické geometrii, analýze funkcí komplexní proměnné ad.

Definice

Nechť X je topologický prostor, ${\displaystyle {\mathfrak {Ab}}}$ označuje kategorii abelovských grup a ${\displaystyle O_{X}}$ množinu otevřených množin ${\displaystyle X}$. Množinu ${\displaystyle O_{X}}$ budeme vnímat jako kategorii. Objektem v ${\displaystyle O_{X}}$ bude každá otevřená množina v ${\displaystyle X}$. Morfismus mezi dvěma objekty ${\displaystyle U,V\in Ob(O_{X})}$ však bude existovat tehdy a jen tehdy, když ${\displaystyle U\subseteq V}$, a sice jen ${\displaystyle id_{U}:U\to V.}$ Tento element označíme ${\displaystyle id_{U,V}.}$ Předsvazek abelovských grup na ${\displaystyle X}$ je pak libovolný kontravariantní funktor ${\displaystyle F:O_{X}\to {\mathfrak {Ab}}.}$

${\displaystyle F(id_{U,V})}$ se nazývá restrikční morfizmus z V do U.

Morfizmus mezi dvěma předsvazky ${\displaystyle F,G:O_{X}\to {\mathfrak {Ab}}}$ je přirozená transformace mezi funktory F a G.

Příklady

Konstantní svazek, svazek spojitých funkcí na topologickém prostoru, svazek hladkých, holomorfních funkcí na hladké resp. komplexní varietě.