Paprsková rovnice

Paprskovou rovnici je možno odvodit z eikonálové rovnice, případně z Fermatova principu. Tato rovnice popisuje šíření paprsku v prostředí s proměnným indexem lomu. Její tvar je

${\displaystyle \nabla n={\frac {\rm {d}}{\rm {{d}s}}}(n{\frac {\rm {{d}\mathbf {r} }}{\rm {{d}s}}})}$,

kde ${\displaystyle s}$ je přirozenou parametrizací trajektorie, tedy parametrizace obloukem.

Provedením derivace součinu je možno rovnici přepsat na tvar

${\displaystyle n{\frac {\rm {{d}^{2}\mathbf {r} }}{\rm {{d}s^{2}}}}=\nabla n-(\nabla n\cdot {\frac {\rm {{d}\mathbf {r} }}{\rm {{d}s}}}){\frac {\rm {{d}\mathbf {r} }}{\rm {{d}s}}}}$

Z diferenciální geometrie je přitom známo, že ${\displaystyle {\frac {\rm {{d}^{2}\mathbf {r} }}{\rm {{d}s^{2}}}}}$ je vždy kolmá na ${\displaystyle {\frac {\rm {{d}\mathbf {r} }}{\rm {{d}s}}}}$ (tedy na směr paprsku) a její velikost se rovná křivosti křivky,

${\displaystyle {\frac {1}{R}}=\left|{\frac {\rm {{d}^{2}\mathbf {r} }}{\rm {{d}s^{2}}}}\right|}$.

Paprsková rovnice tedy umožňuje ze směru paprsku v určitém bodě určit jeho poloměr křivosti R v tomto bodě a také rovinu, ve které je paprsek zakřiven (oskulační rovinu).

Máme-li tedy zadán směr paprsku ${\displaystyle {\frac {\rm {{d}\mathbf {r} }}{\rm {{d}s}}}}$ v jednom bodě v prostoru, jsme schopni z paprskové rovnice vypočítat, jak se bude paprsek dál šířit, případně i jak se šířil předtím, než do tohoto místa doletěl.

Příklady

Speciálně je-li ${\displaystyle \nabla n=0}$, dostáváme nulovou křivost v každém bodě, což odpovídá přímočarému šíření světla v homogenním izotropním prostředí, paprsky jsou přímky.

Závisí-li index lomu pouze na souřadnici y, pak z paprskové rovnice je okamžitě vidět, že pro paprsek pohybující se v rovině x, y platí

${\displaystyle n(y){\frac {\rm {{d}x}}{\rm {{d}s}}}=konst.}$

Což lze přepsat pomocí úhlu ${\displaystyle \alpha }$, který paprsek svírá s osou y do tvaru

${\displaystyle n(y)\sin \alpha =konst.}$

Z čehož speciálně plyne Snellův zákon lomu:

${\displaystyle n_{1}\sin \alpha _{1}=n_{2}\sin \alpha _{2}}$