Pauliho matice

Pauliho matice jsou množina 2 × 2 komplexních hermiteovských a unitárních matic. Obvykle jsou označovány řeckým písmenem 'sigma' (σ), popř. se používá 'tau' (τ), pokud jsou uváděny ve spojitosti s izospinem. Matice mají tvar:

Nesou jméno Wolfganga Pauliho.

Algebraické vlastnosti

kde označuje jednotkovou matici.

Z předchozího lze odvodit, že vlastní hodnoty každé σi jsou ±1.

  • Společně s jednotkovou maticí I, která bývá někdy zapisována jako σ0, tvoří Pauliho matice ortogonální bázi vůči Hilbertově–Schmidtově normě na Hilbertově prostoru reálných 2 × 2 hermitovských matic, , případně Hilbertově prostoru komplexních 2 × 2 matic, .

Komutační relace

Pauliho matice vyhovují následujícím komutačním a antikomutačním relacím:

kde je Levi-Civitův symbol, je Kroneckerovo delta a I je jednotková matice.

Předchozí dvě relace lze vyjádřit ve tvaru:

.

Např.

Další relace

Např.

kde index značí transponování matice.

Fyzika

  • V kvantové mechanice představuje každá Pauliho matice pozorovatelnou popisující orientaci spinu částice se spinem ½ v třírozměrném prostoru. Matice představují generátory rotací pro nerelativistické částice se spinem ½. Kvantový stav částice je představován dvoukomponentovým spinorem. Částice se spinem ½ mají tu vlastnost, že musí být otočeny o úhel , aby se vrátily do svého původního stavu.
  • Pro částice se spinem ½ je operátor spinu určen jako . Pauliho matice mohou být zobecněny k popisu částic s vyššími hodnotami spinu ve třírozměrném prostoru. Spinové matice pro spin a mají tvar:

:

:

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Pauli matrices na anglické Wikipedii.

Související články