Peanovy axiomy

V matematice jsou Peanovy axiomy axiomy v predikátové logice druhého řádu, které vystihují vlastnosti přirozených čísel. Až na izomorfismus existuje jediný model v němž platí Peanovy axiomy, a to množina přirozených čísel s nulou ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$. Peanovy axiomy lze zapsat i v logice prvního řádu - teorie určená těmito axiomy se nazývá Peanova aritmetika. Systém axiomů Peanovy aritmetiky je však podstatně slabší než systém Peanových axiomů, neboť například připouští existenci modelů neizomorfních s ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$. Autorem Peanových axiomů je Giuseppe Peano.

V logice druhého řádu lze axiomy formulovat takto (první a třetí axiom slovního zápisu je zde sloučen do jediného (prvního) formálního axiomu, který vyjadřuje jednak existenci nuly a jednak to, že není následníkem žádného čísla):

• ${\displaystyle (\exists x)(\forall y)(y'\neq x)}$
• ${\displaystyle (\forall x)(\exists y)(x'=y)}$
• ${\displaystyle (\forall x)(\forall y)(x'=y'\rightarrow x=y)}$
• ${\displaystyle (\forall \varphi )(\varphi (0)\land (\forall x)(\varphi (x)\rightarrow \varphi (x'))\rightarrow (\forall x)\,\varphi (x))}$

Informativně vyjadřují Peanovy axiomy následující vlastnosti přirozených čísel:

• Existuje číslo (zpravidla označované 0), které není následníkem žádného čísla.
• Ke každému přirozenému číslu n existuje přirozené číslo n', které je jeho následovníkem.
• Různá přirozená čísla mají různé následovníky.
• Pokud pro nějakou vlastnost přirozených čísel platí, že ji má 0 a z toho, že ji má přirozené číslo n plyne, že ji má i jeho následovník n', pak tuto vlastnost již mají všechna přirozená čísla.

Poslední z Peanových axiomů, nazývaný axiom nebo metaaxiom indukce, umožňuje na množinách izomorfních s přirozenými čísly používat matematickou indukci pro libovolnou vlastnost ${\displaystyle \varphi }$. Tento axiom lze zapsat následovně: Pokud ${\displaystyle p}$ je výrok závisející na ${\displaystyle n}$, tak:

${\displaystyle \exists n'\in \mathbb {N} \ (p(n')\wedge (\forall n\in \langle n',+\infty )\cap \mathbb {N} \ (p(n)\implies p(n+1)))\implies \forall m\in \langle n',+\infty )\cap \mathbb {N} \ p(m)}$.

Pokud je možné najít ${\displaystyle n'}$ pro které platí výrok ${\displaystyle p}$ a pokud pro výrok ${\displaystyle p}$ platí pro ${\displaystyle n}$ větší ${\displaystyle n'}$, tak platí pro ${\displaystyle n+1}$, potom výrok ${\displaystyle p}$ platí pro každé ${\displaystyle m}$ větší ${\displaystyle n'}$.

Na množině splňující Peanovy axiomy lze definovat operace sčítání a násobení a relaci uspořádání takto:

• Součet ${\displaystyle \,a+b}$ definujeme indukcí podle druhého sčítance: ${\displaystyle \,a+0=a,\;a+b'=(a+b)'}$.
• Součin ${\displaystyle a\cdot b}$ definujeme indukcí podle druhého činitele: ${\displaystyle a\cdot 0=0,\;a\cdot b'=a\cdot b+a}$.
• Relaci ${\displaystyle a\leq b}$ definujeme formulí ${\displaystyle a\leq b\leftrightarrow (\exists c)(a+c=b)}$.

Takto zapsanými axiomy je sestrojena množina přirozených čísel začínající nulou. Pokud tato množina nulu obsahovat nemá, lze v těchto axiomech nahradit symbol 0 symbolem 1, pro množinu samotnou se tím nic nezmění.

• Peanova aritmetika
• Robinsonova aritmetika
• Presburgerova aritmetika
• Gödelovy věty o neúplnosti