Perfektní mocnina

Perfektní mocnina je číslo, které lze zapsat jako přirozenou mocninu jiného přirozeného čísla.

Formální definice: ${\displaystyle n\,\!}$ je perfektní mocnina, pokud existují přirozená čísla ${\displaystyle m>1\,\!}$, a ${\displaystyle k>1\,\!}$, pro která platí, že ${\displaystyle m^{k}=n\,\!}$.

Příklady a součty

Posloupnost takových mocnin může být generována pro možné hodnoty m a k. Příklad:^[1]

${\displaystyle 2^{2}=4,\,2^{3}=8,\,3^{2}=9,\,2^{4}=16,\,4^{2}=16,\,5^{2}=25,\,3^{3}=27,\,2^{5}=32,\,6^{2}=36,\,7^{2}=49,\,2^{6}=64,\,4^{3}=64,\,8^{2}=64,\,\dots }$

Vlastnosti

Součet

Součet převrácených hodnot takových čísel (každé číslo počítáme i s násobností, pokud ho lze vyjádřit více způsoby jako n^k) je 1:

${\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=1.}$

Důkaz:

${\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\left({\frac {m}{m-1}}\right)=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m(m-1)}}=\sum _{m=2}^{\infty }\left({\frac {1}{m-1}}-{\frac {1}{m}}\right)=1\,.}$

Goldbachova-Eulerova věta

Podle Eulera, Goldbach ukázal že součet ${\displaystyle {\frac {1}{p-1}}}$ přes množinu perfektních mocnin ${\displaystyle p\,\!}$, vyjma čísla 1 je 1:

${\displaystyle \sum _{p}{\frac {1}{p-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}}+\cdots =1.}$

Známé jako Goldbachova-Eulerova věta.

Hledání celočíselných mocnin

Zjištění, zda ${\displaystyle n}$ je mocnina, může probíhat mnoha různými způsoby, s různou úrovní složitosti. Jednou z jednodušších metod je zvážit všechny možné hodnoty ${\displaystyle k}$ přes všechny dělitele ${\displaystyle n}$, až do ${\displaystyle k\,\leq \,\log _{2}n}$. Jestliže tedy dělitelé ${\displaystyle n}$ jsou ${\displaystyle n_{1},\,n_{2},\,\dots ,\,n_{j}}$ pak jedna z hodnot ${\displaystyle n_{1}^{2},\,n_{2}^{2},\,\dots ,\,n_{j}^{2},\,n_{1}^{3},\,n_{2}^{3}\,\dots }$ musí být rovna ${\displaystyle n}$ jestliže ${\displaystyle n}$ je mocnina.

Tato metoda může být zjednodušena pokud ${\displaystyle k}$ hodnoty jsou prvočísla. To protože pokud ${\displaystyle n\,=\,m^{k}}$ pro složené číslo ${\displaystyle k\,=\,ap}$ kde ${\displaystyle p}$ je prvočíslo, můžeme jednoduše přepsat jako ${\displaystyle n\,=\,m^{k}\,=\,m^{ap}\,=\,(m^{a})^{p}}$. Minimální hodnota ${\displaystyle k}$ je 2.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Powerful number na anglické Wikipedii.

Související články

• Catalanova věta

Externí odkazy

• PARADÍS, Jaume; VIADER, Pelegrí; BIBILONI, Lluís. On a Series of Goldbach and Euler. SSRN Electronic Journal [online]. 2004 [cit. 2021-05-29]. DOI 10.2139/ssrn.848586. 
• Perfektní mocnina v encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Daniel J. Bernstein. Detecting perfect powers in essentially linear time. Mathematics of Computation. 1998, roč. 67, čís. 223, s. 1253–1283. Dostupné online. DOI 10.1090/S0025-5718-98-00952-1.