Periodická funkce

Periodická funkce je v matematice funkce, jejíž hodnoty se pravidelně opakují s určitou periodou. Nejdůležitější periodické funkce jsou goniometrické funkce (sinus, kosinus atd.), jejichž periodou je 2π. Graf periodické funkce se také opakuje a lze jej sestrojit kopírováním jedné periody na ose x.

Periodické funkce se užívají ve fyzice i v technice k popisu vlnových dějů, oscilací, cyklů a mnoha dalších pravidelných dějů. Nezávislou proměnnou bývá čas. Rozdíl mezi minimem a maximem periodické funkce se nazývá amplituda a převrácená hodnota periody je frekvence.

Funkce, které nejsou periodické, se nazývají aperiodické.

Definice

Přesněji můžeme říci, že funkce ${\displaystyle f}$ je periodická s periodou ${\displaystyle P}$, jestliže

${\displaystyle f(x+P)=f(x)}$

pro všechny hodnoty ${\displaystyle x}$ v definiční oblasti ${\displaystyle f}$. Pro všechna celá čísla n také platí

${\displaystyle f(x+nP)=f(x).}$

Jednoduchým příkladem je funkce, jejíž hodnota je desetinná část argumentu, takže například

${\displaystyle f(0.5)=f(1.5)=f(2.5)=...=0.5.}$

Perioda funkce je rovna 1 a ${\displaystyle f(x)=f(x+1)=f(x+2)=...}$.

Nejmenší kladné číslo ${\displaystyle P}$, které je periodou periodické funkce, označujeme jako primitivní perioda. Průběh periodické funkce je v každém intervalu ${\displaystyle \langle nP,(n+1)P\rangle }$ stejný.

Obecná definice

Nechť ${\displaystyle E}$ je množina s interní operací ${\displaystyle +}$. Potom P-periodickou funkcí nebo periodickou funkcí s periodou P na ${\displaystyle E}$ je funkce ${\displaystyle f}$ na ${\displaystyle E}$ taková, že

${\displaystyle \forall x\in E:f(x+P)=f(x)}$.

Poznamenejme, že ačkoliv se předpokládá, že ${\displaystyle +}$ je komutativní, v této definici píšeme ${\displaystyle P}$ napravo.

Funkce, jejichž definičním oborem jsou komplexní čísla, mohou mít dvě nesouměřitelné periody, aniž by se jednalo o konstantní funkce. Takovými funkcemi jsou např. eliptické funkce. („Nesouměřitelnost“ zde znamená, že jedna z period není celočíselným násobkem druhé.)

Periodické řady

Některé přirozeně se vyskytující řady jsou periodické, například desetinný rozklad libovolného racionálního čísla (viz periodický rozvoj). Můžeme proto mluvit o periodě nebo délce periody řady. Jedná se tedy o speciální případ obecné definice.

Základem Fourierových řad je myšlenka, že libovolná periodická funkce je součtem trigonometrických funkcí s periodami P, 2P, 3P atd.

Translační symetrie

Jestliže se k popisu nějakého objektu použije funkce, např. nekonečný obraz může být popsán barvou jako funkcí pozice, odpovídá periodicita této funkce translační symetrii objektu.

Související články

• Harmonická funkce
• Amplituda
• Frekvence
• Oscilace
• Vlnová délka