Platónské těleso

Platónské těleso je v geometrii pravidelný konvexní mnohostěn (polyedr) v prostoru, tj. z každého vrcholu vychází stejný počet hran[1] a všechny stěny tvoří shodné pravidelné mnohoúhelníky.

Trojrozměrných platónských těles je pět:

Tabulka vlastností platónských těles

Platónských těles existuje v trojrozměrném euklidovském prostoru právě pět a jsou to:

NázevObrázekPočet stěnPočet hranPočet vrcholůTyp stěnyPočet hran u vrcholuPovrch (hrana délky a)Objem (hrana délky a)
Pravidelný čtyřstěn (tetraedr)Tetrahedron

(animace)

464trojúhelník3
Krychle (pravidelný šestistěn, hexaedr)Hexahedron (cube)

(animace)

6128čtverec3
Pravidelný osmistěn (oktaedr)Octahedron
(animace)
8126trojúhelník4
Pravidelný dvanáctistěn (dodekaedr)Dodecahedron

(animace)

123020pětiúhelník3
Pravidelný dvacetistěn (ikosaedr)Icosahedron

(animace)

203012trojúhelník5

Dualismus

Při pohledu na tabulku je nápadné, že zatím co např. krychle má 8 vrcholů a 6 stěn, u osmistěnu je tomu právě naopak. Proto je krychle duální k osmistěnu. Podobně je dvanáctistěn duální k dvacetistěnu (20 vrcholů, 12 stěn a naopak). Čtyřstěn je duální sám k sobě (má 4 vrcholy a 4 stěny).

Historie

Platónská tělesa byla známa již ve starověku. Nazývají se podle řeckého filosofa Platóna (427–347 př. n. l.), který krychli, osmistěn, čtyřstěn a dvacetistěn považoval za představitele čtyř základních živlů: země, vzduch, oheň a voda. Dvanáctistěn byl představitelem jsoucna neboli všeho, co existuje.

Eukleidés sepsal kompletní matematický popis platónských těles ve svých Základech, poslední kniha (kniha XIII) je věnována jejich vlastnostem. Tvrzení 13-17 v knize XIII popisují stavbu čtyřstěnu, krychle, osmistěnu a dvanáctistěnu a dvacetistěnu v uvedeném pořadí. Pro každé Platonské těleso Euklid našel poměr průměru opsané kulové plochy s délkou hrany. Tvrdil, že žádné další pravidelné konvexní mnohostěny neexistují.

Johannes Kepler se pokusil mezi šest tehdy známých planet vložit těchto pět platónských těles. Mezi Merkur a Venuši dal osmistěn, mezi Venuši a Zemi dvacetistěn, mezi Zemi a Mars dvanáctistěn, mezi Mars a Jupiter čtyřstěn a mezi Jupiter a Saturn krychli. Tato tělesa měla představovat vzdálenosti mezi jednotlivými planetami.

Přírodní vědy

Vzhledem k vysoké symetrii se platónská tělesa objevují běžně v současné krystalografii, krystalochemii a molekulární fyzice a chemii. Řada tvarů krystalů s vysokou symetrií krystalové mřížky nabývá forem platónských těles (např. krystaly běžné kuchyňské soli mají tvar krychle, u sfaleritu někdy tvar čtyřstěnu apod.). Také symetrické molekuly mají mnohdy tvar těchto těles: methan má čtyři atomy vodíku ve vrcholech pravidelného čtyřstěnu s uhlíkovým atomem v jeho těžišti, molekula fluoridu sírového má tvar pravidelného osmistěnu atp.

Vyšší dimenze

Pravidelné mnohostěny existují i ve vyšších dimenzích.

Odkazy

Poznámky

  1. Ekvivalentní definice říká, že v každém vrcholu se stýká stejný počet stěn.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Platonic solid na anglické Wikipedii.

Související články

Externí odkazy

Média použitá na této stránce

Tetrahedron.jpg
Autor: Původně soubor načetl Cyp na projektu Wikipedie v jazyce angličtina, Licence: CC-BY-SA-3.0
A Tetrahedron. A regular polyhedron.
Octahedron.jpg
Autor:

Původně soubor načetl Cyp na projektu Wikipedie v jazyce angličtina

Later versions were uploaded by Fropuff at en.wikipedia., Licence: CC-BY-SA-3.0

Octahedron, made by me using POV-Ray, see en:User:Cyp/Poly.pov for source.

en:Category:Polyhedral image
Icosahedron.jpg
Autor: Created by en:User:Cyp and copied from the English Wikipedia. Povray logo sphere.png Tento grafika byl vytvořen programem POV-Ray., Licence: CC-BY-SA-3.0
An Icosahedron. A regular polyhedron. Text from en: Icosahedron, made by me using POV-Ray, see en:User:Cyp/Poly.pov for source.
Hexahedron.jpg
Autor: Původně soubor načetl Cyp na projektu Wikipedie v jazyce angličtina, Licence: CC-BY-SA-3.0
A Hexahedron (cube). A regular polyhedron.
Icosahedron.svg
Autor: DTR, Licence: CC-BY-SA-3.0
Icosahedron.
Tetrahedron.svg
Autor: !Původní dílo:Kjell AndréVektory: DTR, Licence: CC-BY-SA-3.0
Tetrahedron.
Dodecahedron.jpg
Autor: Created by en:User:Cyp and copied from the English Wikipedia., Licence: CC-BY-SA-3.0
A Dodecahedron; a regular polyhedron. Text from en:Dodecahedron, made by me using POV-Ray, see en:User:Cyp/Poly.pov for source.
Octahedron.svg
Autor: User:Stannered, Licence: CC-BY-SA-3.0
Octahedron.