Podmíněnost matice

Podmíněnost matice nebo též číslo podmíněnosti matice, je číslo, které kvalitativně charakterizuje danou matici a do značné míry determinuje chování (zejména přesnost) řady numerických maticových algoritmů.

Čtvercová regulární matice

Nechť ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ je čtvercová regulární matice, pak číslo

${\displaystyle \kappa _{p}(A)=\|A\|_{p}\|A^{-1}\|_{p},}$

kde ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ značí libovolnou maticovou normu, nazveme podmíněností matice ${\displaystyle A}$ vzhledem k této normě (v praxi se nejčastěji používá ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ spektrální a ${\displaystyle \|\cdot \|_{F}}$ Frobeniova norma).

Uvažujme podmíněnost indukovanou spektrální normou. Je-li matice ${\displaystyle A}$ symetrická pozitivně definitní (tj. normální matice s kladnými vlastními čísly), pak

${\displaystyle \kappa _{2}(A)={\frac {\lambda _{\max }(A)}{\lambda _{\min }(A)}},}$

kde podíl vpravo je podíl největšího a nejmenšího vlastního čísla matice ${\displaystyle A}$.

Je-li regulární matice ${\displaystyle A}$ normální (tedy ${\displaystyle A^{T}A=AA^{T}}$), pak

${\displaystyle \kappa _{2}(A)={\frac {\max\{|\lambda |;\lambda \in \mathrm {sp} (A)\}}{\min\{|\lambda |;\lambda \in \mathrm {sp} (A)\}}},}$

kde ${\displaystyle \mathrm {sp} (A)}$ je spektrum matice ${\displaystyle A}$; podmíněnost je tedy podíl v absolutní hodnotě největšího a v absolutní hodnotě nejmenšího vlastního čísla matice ${\displaystyle A}$.

Pro obecnou čtvercovou regulární matici ${\displaystyle A}$ je podmíněnost

${\displaystyle \kappa _{2}(A)={\frac {\sigma _{1}}{\sigma _{n}}}={\frac {\sigma _{\max }(A)}{\sigma _{\min }(A)}},}$

dána podílem největšího a nejmenšího singulárního čísla matice ${\displaystyle A}$ (singulární čísla normálních matic jsou absolutní hodnoty vlastních čísel).

Zřejmě obecně platí

${\displaystyle \kappa _{2}(A)=\kappa _{2}(A^{T})=\kappa _{2}(A^{-1})=\kappa _{2}(\alpha A),\qquad \kappa _{2}(AA^{T})=\kappa _{2}(A^{T}A)=\kappa _{2}(AA)=\kappa _{2}^{2}(A).}$

Příklady

Ortogonální matice

Je-li matice ${\displaystyle A}$ ortogonální, pak zřejmě ${\displaystyle \kappa _{2}(A)=1}$. Obecně platí

${\displaystyle A^{T}A=AA^{T}=\alpha ^{2}I_{n}\qquad \Longleftrightarrow \qquad \kappa _{2}(A)=1,}$

kde ${\displaystyle \alpha \neq 0}$.

Vzdálenost od nejbližší singulární matice

Je-li matice ${\displaystyle A}$ regulární, a matice ${\displaystyle E}$ je nějaká její perturbace tak, že

${\displaystyle {\frac {\|E\|_{2}}{\|A\|_{2}}}<{\frac {1}{\kappa _{2}(A)}}}$

pak je i matice ${\displaystyle A+E}$ regulární. Důkaz jen naznačíme. Podmínku

${\displaystyle {\frac {\|E\|}{\|A\|}}<{\frac {1}{\kappa (A)}}={\frac {1}{\|A\|\|A^{-1}\|}}}$

lze zapsat ve tvaru ${\displaystyle \|A^{-1}\|\|E\|<1}$. Místo tvrzení původního lze snadno dokázat tvrzení opačné: je-li ${\displaystyle A+E}$ singulární, pak ${\displaystyle \|A^{-1}\|\|E\|\geq 1}$. Nechť tedy existuje ${\displaystyle v\neq 0}$ tak, že ${\displaystyle (A+E)v=0}$, tedy ${\displaystyle v=-A^{-1}Ev}$, pak

${\displaystyle \|v\|=\|A^{-1}Ev\|\leq \|A^{-1}\|\|E\|\|v\|.}$

Protože ${\displaystyle \|v\|\neq 0}$ můžeme nerovnost dělit ${\displaystyle \|v\|}$ a dostáváme shora uvedené tvrzení. (Všimněme si, že důkaz a tedy i tvrzení platí pro libovolnou multiplikativní maticovou normu a jí indukovanou podmíněnost, nejen pro normu spektrální.)

Podmíněnost (respektive její převrácená hodnota) tedy vyjadřuje vzdálenost od nejbližší singulární matice.

Podmíněnost versus determinant

Pro rozlišení singulárních a regulárních matic se často používá determinantu matice. Velkou nevýhodou determinantu, ve srovnání s číslem podmíněnosti, je fakt, že je-li determinant nenulový ale velmi blízký nule, o vzdálenosti dané matice od nejbližší matice singulární to nic nevypovídá. V praktických výpočtech je tudíž determinant naprosto nepoužitelný. Uvažujme pro příklad skalární násobek jednotkové (tedy ortogonální a bezesporu regulární) matice

${\displaystyle A=\alpha I_{n}\in \mathbb {R} ^{n\times n},\qquad \alpha =10^{-1},\;n=1000,}$

pak

${\displaystyle \det(A)=\alpha ^{n}=10^{-1000},\qquad \kappa _{2}(A)={\frac {\alpha }{\alpha }}=1.}$

V běžně používané konečné aritmetice s plovoucí řádovou čárkou (double, ${\displaystyle \epsilon _{M}\approx 2.22\times 10^{-16}}$) je determinant této matice nulový.

Podmíněnost singulární matice jako limita

Nechť ${\displaystyle A(t)}$ je matice jejíž koeficienty spojitě závisí na parametru ${\displaystyle t}$ a nechť všechna singulární čísla matice ${\displaystyle A(t)}$ jsou jednoduchá pro všechna ${\displaystyle t}$ (pak jsou též spojitými funkcemi parametru ${\displaystyle t}$). Nechť je matice ${\displaystyle A(t)}$ regulární všude v nějakém okolí bodu ${\displaystyle t=t_{0}}$ a zároveň ${\displaystyle A(t_{0})}$ je singulární. Pak

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow t_{0}}\kappa _{2}(A(t))=+\infty .}$

Obdélníková matice

Uvažujme obdélníkovou matici ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$, která má plnou hodnost, tedy ${\displaystyle \mathrm {rank} (A)=r\equiv \min\{m,n\}}$. Podmíněnost je pak opět dána podílem největšího a nejmenšího singulárního čísla

${\displaystyle \kappa _{2}(A)={\frac {\sigma _{1}}{\sigma _{r}}}={\frac {\sigma _{\max }(A)}{\sigma _{\min }(A)}}=\|A\|_{2}\|A^{\dagger }\|_{2},}$

kde ${\displaystyle A^{\dagger }}$ je Mooreova–Penroseova pseudoinverze matice ${\displaystyle A}$.

Podmíněnost obecné matice lze analogicky definovat pomocí součinu normy matice a normy její Mooreovy–Penroseovy pseudoinverze, tedy jako podíl největšího a nejmenšího nenulového singulárního čísla. Takto definovaná podmíněnost je vždy konečné číslo, a je tedy různá od podmíněnosti shora uvedené čtvercové singulární matice, která byla zavedena limitním přechodem. V numerické analýze se ovšem velmi často vyskytují matice regulární, nebo alespoň plné hodnosti. Konečná podmíněnost zcela obecné matice je potřeba řidčeji.

Reference

• J. Duintjer Tebbens, I. Hnětynková, M. Plešinger, Z. Strakoš, P. Tichý: Analýza metod pro maticové výpočty, základní metody. Matfyzpress 2012. ISBN 978-80-7378-201-6.