Podobnost (geometrie)

Podobnost je geometrické zobrazení Euklidovského prostoru do sebe, které násobí všechny vzdálenosti stejným koeficientem, tzv. měřítkem podobnosti. Dva geometrické útvary v Euklidově prostoru jsou podobné, pokud oba mají přesně stejný tvar. Přesněji řečeno, jeden je shodný s útvarem, získaným jako výsledek rovnoměrného zmenšení či zvětšení druhého a jeho případné rotace, posunutí a zrcadlení. Nejjednodušším příkladem podobného zobrazení je stejnolehlost. Podobnost je speciálním případem afinity. Speciálním případem podobnosti, je-li koeficient podobnosti roven 1, je shodnost.

Poměr vzdálenosti dvou bodů daného geometrického útvaru a vzdálenosti odpovídajících dvou bodů jiného geometrického útvaru (referenčního) je u podobných útvarů shodný pro každou takovou dvojici bodů a nazývá se koeficient podobnosti. Podobnost zachovává velikost úhlů a poměr délek.

Podobnost v rovině

Pro rovinné útvary z toho vyplývá, že odpovídající hrany podobných mnohoúhelníků jsou ve vzájemném poměru a odpovídající úhly si jsou rovny.

Například všechny kružnice, čtverce a rovnostranné trojúhelníky si jsou podobné. Naopak elipsy si podobné být nemusí, stejně tak jako hyperboly.^[zdroj?]

Zpravidla se za speciální případ podobnosti považuje i shodnost, tedy podobnost s koeficientem podobnosti ${\displaystyle k=1}$. Všechny shodné tvary jsou tedy zároveň podobné (některé učebnice výslovně vydělují shodné trojúhelníky z definice podobných trojúhelníků, takže musí být rozdílné nejen tvary, ale i jejich velikosti, aby se daly považovat za podobné).

Podobné trojúhelníky

Trojúhelníky ${\displaystyle \triangle ABC}$ a ${\displaystyle \triangle DEF}$ jsou podobné (píšeme ${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle DEF\,}$), pokud vyhoví jedné z následujících vět:

1. Věta sss – Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek všech tří dvojic odpovídajících stran, jsou si podobné.
   • odpovídající strany mají délky ve stejném poměru, takže platí ${\displaystyle {AB \over DE}={BC \over EF}={AC \over DF}=k}$ a trojúhelníky jsou si podobné.
2. Věta sus – Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek dvou odpovídajících stran a shodují se v úhlu jimi sevřeném, jsou si podobné.
3. Věta uu – Každé dva trojúhelníky, které mají dva úhly stejné, jsou si podobné.
   • je-li úhel ${\displaystyle \angle BAC}$ roven ${\displaystyle \angle EDF}$ a ${\displaystyle \angle ABC}$ je roven ${\displaystyle \angle DEF}$, pak to znamená, že i ${\displaystyle \angle ACB}$ je roven ${\displaystyle \angle DFE}$ a trojúhelníky jsou si podobné.
4. Věta Ssu – Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek dvou odpovídajících stran a shodují se v úhlu naproti větší straně, jsou si podobné.

Podobné trojúhelníky jsou tedy takové, které mají stejný tvar, ale jinou velikost (tvar trojúhelníku je definován jeho úhly). Je to možné říci i tak, že jeden trojúhelník je zvětšením (či zmenšením) druhého.

Podobné mnohoúhelníky

Tuto myšlenku je možné rozšířit na mnohoúhelníky s více stranami. U jakýchkoli dvou podobných mnohoúhelníků si jsou odpovídající strany přímo úměrné. Nicméně pouze úměrnost stran není dostatečná k zajištění podobnosti mnohoúhelníků kromě trojúhelníků, takže odpovídající úhly rovněž musí být shodné.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Similarity (geometry) na anglické Wikipedii.

Související články

• Geometrické zobrazení
• Zobrazení

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu podobnost na Wikimedia Commons
• Slovníkové heslo podobnost ve Wikislovníku
• Encyklopedické heslo Podobnost v Ottově slovníku naučném ve Wikizdrojích